DE LA RÈCLE DE SOCIÉTÉ
229. Cette nouvelle règle a pour objet de partager entre plusieurs personnes associées dans un même commerce, le bénéfice ou la perle qui résulte de leur association.
Il est généralement convenu entre les négociants (et cela est d’ailleurs conforme à la raison comme à la justice) que la part de gain ou de perle de chaque associé est, 1 °. proportionnelle à sa mise quand les temps sont égaux , T. 0 , proportionnelle au temps quand les mises sont égales. D’où il résulte que , pour des mises et ries temps différents, les parts sont proportionnelles aux produits des mises par les temps.
Donc la question , considérée sous le point de vue le plus général , revient à partager un nombre donné (qui est un bénéfice ou une perle) en parties directement proportionnelles à d'autres nombres donnés.
Soient donc A le hombre à partager ; nt , n , p , q , . . .les nombres proportionnellement auxquels A doit être partagé , et x , x , x " , x " , ... les différentes parts.
On aura, en vertu de l’énoncé, la suite de rapports égaux,
d’où, faisant ( u° 21i) la somme des antécédents et celle de conséquents,
ou bien, puisque x -f- x -f- .r’ -f- x” -j- . . . . ou la somme des parts , est égale à A ,
RÈGLE DE SOCIÉTÉ
3ia
ra+n+/i+r/ + ... a : : in ’ x
Ce qui prouve que, pour obtenir chacune des parts , il suffît de multiplier le nombre à partager, A , respectivement par chacun des nombres m,n,p,q et de diviser le produit par la
somme m -j- n 4- p-f-q de ces memes nombres.
Faisons quelques applications.
230 . Premier exemple. — Trois personnes se sont réunies pour un commerce ; la premiers a placé i5ooo f , la seconde 2254o f , et la troisième 256oo f ; au bout d’un an, elles ont fait un bénéfice de 1 20oo f ; on demande ce qui revient à chacun des associés ?
Analyse. — Il résulte des considérations précédentes (ce qui d’ailleurs est évident en soi-même), que la mise totale (ou la somme des trois mises) , est au gain total, comme une mise particulière est au gain qui lui correspond
Donc chaque gain particulier est égal au produit du gain total et de la mise particulière, divisé par la mise totale.
Cela posé, faisant d’abord la somme des trois mises , on obtient pour cette somme , 63i4o f .
Ainsi l'on a successivement pour les expressions des trois gains particuliers,
i r gain : xz
12000 X i 5 ooo
1 2000 x 256 oo r>3 1 4 o
C’est ce que l’on peut vérifier d’ailleurs en faisant la somme de
RÈGI.E DE SOCIÉTÉ. 3 I 3
ces gains : car si l'operation est exacte, celte somme doit être égale au gain total 12000.
Second exempi.e. — Un particulier commence une entreprise avec un fonds de 25 ooo'. Cinq mois plus lard, voulant étendre son entreprise , il y intéresse un capitaliste qui lui fournit un fonds de 4 oooo f . Six mois apres ce premier emprunt, il trouve un second capitaliste qui lui prête une somme de 6oooo f . Au bout de doux ans, l' entreprise a rapporté un bénéfice de 8oooo f ; il est < f ailleurs convenu que le particulier, qui reste seul chargé de l'entreprise , aura une prime de 5 p. lôo sur le bénéfice total , outre la part qui lui revient proportionnellement aux fonds qu'il a placés.
On demande la part de chacun des trois co-associés?
Analyse. — Puisque le particulier doit, pour prix de son travail, commencer par prélever 5 pour ioo du bénéfice total, il retirera les ou le — de 80000', savoir: 4ou o'.
IOO 20
Il ne reste donc plus que 76000' à partager entre les trois personnes , proportionnellement aux produits de leurs mises par les temps pendant lesquels ces mises ont été placées dans l’entreprise.
Cela posé, i°. tes 25 ooo' du particulier, placés pendant 24 mois, donnent pour produit 26000' X 24» ou 600000'.
2°. Les 40000' du premier capitaliste , ayant été 24 — 5 , ou 19 mois, dans la société, donnent 40000' X >9* ou 760000'.
3 °. Enfin, les 60000' du second capitaliste, placés pendant 24 — 5 — 6, ou pendant i 3 mois , donnent 60000' X 1 3 , ou 780000'.
Donc , la question revient à partager 76000' proportionnellement aux trois nombres 600000, 760000 , et 780000, ou, ce qui revient évidemment au même, proportionnellement aux trois nombres 60, 76, et 78.
Or, on trouve d’abord pour la somme de ces trois derniers nombres , 2 1 4. \insi, l’on obtiendra successivement pour les trois parts ,
RÈGLE DE SOCIÉTÉ
i r * part..
ou bien , ajoutant la prime de 4ooo f qui revient à celui qui est chargé de l’entreprise »53o8,4i
Vérification 8oooo f ,oo
251. La règle de société est une des opérations les plus usuelles chez l’homme civilisé.
Les contributions que les individus d’un même royaume [raient au gouvernement, se déterminent par de véritables règles de société.
On appelle contribution , la somme que doit payer annuellement chaque individu, à raison de son revenu présumé; c’est une sorte de perte pour lui , mais une perte à laquelle il se soumet pour aider le gouvernement dans sa marche et dans ses efforts pour l’intérêt et le bonheur de tous
La question qui a pour objet de fixer le montant des contributions proportionnelles , sur un nombre d’individus aussi grand que celui d’un État, de la France par exemple, peut sembler, au premier abord , très-compliquée ; mais les considérations suivantes suffiront pour faire concevoir combien sa solution en est simple.
Supposons, pour fixer les idées, qu’il ne s’agisse que des contributions foncières, c’est-à-dire des contributions que l’on perçoit sur les revenus territoriaux.
Les besoins d'un gouvernement pendant une année exigent une contribution foncière dont la valeur est A. De quelle manière en opérera— t -il le recouvrement?
Solution. — 0(i commence par répartir, au ministère des finances, la somme A, entre tous les départements qui composent le territoire, proportionnellement aux revenus présumés de ce* différents département*
RÈGLE DE SOCIÉTÉ. 3 I 5
Soit B la somme que l’un quelconque des départements doit payer pour sa quote-part.
Ce département étant divisé eu trois ou quatre arrondissements don t les revenus territoriaux sont connus, on partage, à la préfecture de ce département , la somme B entre les arrondissements , proportionnellement à leurs revenus.
Soit C la somme que I’iiii des arrondissements doit payer pour sa quote-part.
Cet arrondissement se subdivisant en plusieurs communes, on fait à la sous-préfecture de cet arrondissement, la répartition de la somme C, entre toutes les communes qui le composent , proportionnellement h leurs revenus présumés.
Soit D la quote-part de l’une des communes.
Enfin , cette commune se compose d’un certain nombre de. propriétés, soit en maisons, soit en terres ou en prairies, soit en bois, dont les revenus sont évalués; et l’on partage la contribution I) entre les proprietaires, proportionnellement à leurs revenus présumés.
Les rôles de contribution de tous les propriétaires étant une fois établis, chaque contribuable verse le montant de sa contribution entre les mains du receveur de la commune. Celui-ci verse ses fonds dans la caisse du receveur d’arrondissement ; ce dernier verse les siens dans la caisse du receveur général de département; enfin, tous les receveurs de département envoient leurs fonds à la Trésorerie ; et le gouvernement se trouve ainsi avoir perçu le montant général de la contribution.
252. Voici île nouvelles questions qui se rattachent à la règle de société.
Troisième exemple. — Partager une somme de 36ooo f entre quatre personnes , de manière que la seconde ait deux fois] autant que la première; que la troisième ait autant, à elle seule, que les deux premières ensemble ; et que la quatrième ait trois fois plus que la troisième ?
Pour peu qu'on réfléchisse sur la nature de cette question, on verra que la part de la première personne étant prise pour unité , ou désignée par i , celle de la seconde est ?. ; la part de
3 l 6 RÈGLE UE SOCIÉTÉ.
la troisième, 2-f- t ou 3 ; enfin celle de la quatrième, 3 X 3 ou 9; donc la question est ramenée à partager 36 ooo en quatre parties qui soient entre elles comme les nombres i , 2,3,9; elle rentre par conséquent dans la question générale du n" 229 .
Faisant d’abord la somme des quatre nombres 1,2, 3 , et 9, on trouve i 5 pour cette somme.
Ainsi, l’on obtiendra successivement pour les quatre parts,
„ 1 X 36 ooo ,
1 r * part = 2400 ;
. 2 X 36 ooo , Q
. » 3 x 36 ooo
9 X 36 ooo „
Quelquefois, les nombres proportionnellement auxquels on doit partager une somme donnée, sont des fractions ou des nombres fractionnaires.
Mais on peut aisément ramener ce cas à celui où les nombres sont entiers, en réduisant ces fractions au meme dénominateur.
Ainsi , pour diviser une somme donnée, a, en parties propor- 2 3 5
tionnelles aux fractions réduisez d’abord ces fractions
au même dénominateur : elles deviennent — , —, —.Or les
fractions qui ont même dénominateur, étant proportionnelles A leurs numérateurs (n° 217 ) , tout se réduit à partager la somme proportionnellement aux nombres donnés 8,9,10, ce qui
donne—, —, pour les trois parts demandées.
Quatrième exemple. — l’ne perspnne laisse en mourant i/uatrr héritiers; ri elle h fait ce singulier testament : le premier
