KF.GLE D'ALLIAGE
Si maintenant on fait la somme des 25 o
trois nombres ?. 5 o, 180, et 200, ce qui 180
donne 63 o, la question sera évidemment 200
ramenée à celle-ci : 63 o
63 o litres de vin coûtent 8900 sous ; à combien revient le litrm?
Pour obtenir ce prix , il suffit de diviser 8900 par 63 o ; et le quotient i^ s i x exprime le prix demandé.
Règle gAnÉiiale. — Pour avoir le prix de l’unité de mélange, il faut, i°. multiplier le prix de l’unité de chaque sorte de choses que F on veut mêler, par le nombre d'unités de cette sorte , et ajouter tous ces produits ; 2 0 -faire la somme des nombres d’unités des différentes sortes de choses ; 3 °. diviser la somme des produits , ou le prix total, par la somme des nombres d’unités.
Second exemple. — On veut Jondre ensemble 2 3 kilogrammes d'argent à Hz 5 millièmes de fin; 14 kilogrammes à 910; 19 à 845 ; et F on demande le litre de /'alliage de ces trois lingots ?
A'. B . — Pour comprendre cet énoncé, il faut savoir que, dans l’orfèvrerie , l’or et l’argent sont toujours combinés avec d’autres métaux , tels que le cuivre.
Cela posé, on dit qu’un lingot d’or ou d’argent est à tel titre ou à tel degré de fin, lorsque, sur un poids détermine, par exemple, sur un kilogramme, il contient tel poids d’or ou d’argent pur.
Ainsi, un lingot est à *• de fin , ou bien , est au titre de —,
lorsque sur 1 kilogramme de ce lingot, il se trouve ^ de kil. d’or ou d’argent pur. ^Ce titre est celui des monnaies actuelles.)
De même, un lingot est à 825 millièmes de fin , lorsque, sur
un kilogramme, il contient d 01 ou d argent pur.
KÈG LE D’ALLIAGE.
Maintenant il résulté de l’énoncé, i|ue
à 825 ml ".. . . font
OU
'sO
ou
àè 45
OU
Donc ,
les 56 kilogrammes alliés ensemble, contiennent *•
5oo
2‘ , produisent 320
4^*, 77° d’argent pur. »
Ainsi, le titre du nouveau lingot sera exprimé par^-^——
ou 0,853; c’est-à-dire que le lingot résultant de l’alliage des trois premiers, est à 853 millièmes de fin.
Troisième exemple. — On a employé 5 oo ouvriers, dont iüo « raison de 2 ' par jour, 200 à i f 75 e , et 140 à i f 5 o c . On demande à combien, l’un dans Vautre , chaque ouvrier revient par jour.
' l , produisent
Donc, puisque 5oo ouvriers ont coûté 88o f , un seul ouvrier
coûte ■= — ou i'7fa c .
5 oo
256. La détermination des valeurs moyennes de plusieurs choses de valeurs différentes, est un cas particulier de la règle d’alliage de la première espèce.
On appelle valeur moyenne de plusieurs choses dont les valeurs particulières sont déjà connues, la somme des valeurs de ces choses , divisée par la somme et autant et unités qu'il y a de choses , plus simplement , divisée par leur nombre.
Ainsi , dans le cas où l’on n’a que deux choses , la valeur moyenne est la demi-somme des valeurs de ces choses; en d’autres termes , c’est (n° 203) la moyenne différentielle entre les valeurs de ces deux choses. »
Quatrième exemple. — On a mesuré, à quatre reprises différentes, la longueur d’un parc. On a trouvé la première fois ,
pour cette longueur, 25o"' /<f " ,4^9 ; /a seconde , 258"', Ü 95 ; la troisième , 2^Q m ,q 5 -, enfin la quatrième , lS\ m , 1 58. On demande la longueur du parc.
Puisque, dans les quatre operations, les mesures obtenues ne s’accordent pas, il est clair que le seul moyen de répondre à la question, est d’établir la mesure moyenne entre toutes ces mesures.
On trouve d'abord pour la somme des quatre mesures, le résultat 1002,042; divisant ce résultat par 4> on obtient 25o.5io5 pour la mesure moyenne (*).
De quelques autres questions qui peuvent se résoudre par le secours seul du raisonnement.
237. Dans les questions précédentes, les moyens de parvenir à la solution cherchée étaient fixes et généraux, c’est-àdire susceptibles d’être appliqués à toutes les questions de même espèce. Mais on peut en proposer une infinité d'autres qui 11e se rattachent à celles-là qu’en partie, ou quiu’en dépendent en aucune manière. Dans ce cas, l’Algèbre fournil seule des méthodes sûres et directes de résolution. Cependant, comme on ne saurait trop exercer l’intelligence des commençants, nous allons traiter quelques questions par le secours du seul raisonnement ; c’est ce qu’on appelle résoudre un problème arithmétiquement.
Rappelons-nous (n° 107) que résoudre ou analyser un problème, c’est, en réfléchissant sur son énoncé, tâcher de découvrir dans les relations établies entre les nombres qui en font partie , la suite des opérations à effectuer sur les nombres connus, pour en tirer les valeurs des nombres inconnus.
Phemier problème. — On demande un nombre dont la moi-
(*) Voyez l'ouvra ja qu’a publié M. Frakcieup, Membre de l’Acsdcmie de* * Science», sou» ca titre : Traité d' Arithmétique appliquée 4 la Banque, au. Commerce , 4 l’ Industrie , clc., ouvrage dont nons ne saurions trop recommander la lecture aux jeunes gen» qui se destinent h de» spéculations commerciales on industrielles .
3 a 6 AUTRES QUESTIONS.
lié, le tiers, le quart, elles - , réunis forment en somme 5 >j 5 .
Pour résoudre celte question, commençons par observer que
prendre successivement la moitié, le tiers, le quart, etles - d’un
nombre, puis ajouter toutes ces parties, revient à multiplier ce
nombre par la somme des fractions -, 4 , 4 , -, c’est-à-
dire par -g^- (en effectuant la somme de toutes ces frac-
tions). Or, puisque le produit du nombre cherché, par -gj- ,
doit être égal à 5 ^ 5 , il s’ensuit , d’après la définition de la division, que ce nombre est égal au quotient de 575 divisé par
s~r, et par conséquent (n°(î 2 ) k' 5 n .5 X —
Effectuant le calcul indiqué, on trouve enfin 4 *o pour le
nombre demaudé.
Vérification , 4 20
la moitié=2io le tiers = 140 le quart = io 5 le 7* — 60
le 7' = 60
Total.... S'jô
Second problème. — On demande trois nombres dont la somme soit égale à c)6, et tels que le second surpasse le premier de a , que le troisième surpasse de 4 1 ° somme des deux autres.
Il est d’abord évident que, si l’on diminuait le second nombre de 2, il deviendrait égal au premier, et que si l’on diminuait le troisième, de 2-4-4 ou de 6 unités, il deviendrait égal au double du premier; ainsi, la somme des trois nombres serait, après ces deux soustractions , quadruple du premier nombre. *
D’ailleurs, si l’on retranche de 96, la somme 2-j-6, il reste
88; d’où l’on voil que le quadruple du premier nombre est égal
Donc, ce premier nombre a pour valeur .... ou 22.
Par conséquent, le second est égal à 22 -f- a ou a 4
et le troisième , à 4^ + 4 ou 5 o
Vérification 96
Troisième problème. — Trouver deux nombres tels que , si l'on ajoute 2 1 au jiremier, la somme résultante soit quintuple du second , et que , si l'on ajoute ai au second , la somme résultante soit triple du premier.
On conclut d’abord de cet énoncé, que la différence entre le quintuple du deuxième et le premier, est égale à la différence entre le triple du premier et le deuxième. 11 y a donc équi-dijjférence entre le quintuple du deuxième nombre, le premier nombre . le triple du premier, et le deuxième. Comme, dans toute êqui-dijjérence , la somme des extrêmes est égale A celle des moyens ( n° 201 ), il s’ensuit que le sextuple du deuxième nombre est égal au quadruple du premier; donc déjà, le deuxième / 2
nombre est égal aux ™ ou aux ^ du premier. Or, ce second
nombre augmenté de 21, donne le triple du premier; ou, ce qui revient au mente, at est égal au triple du premier, diminué du
deuxième ou des - du premier, c’est-i-dire, est égal au produit
du premier par ^3 — ou
aux ^ du premier.
Donc enfin, le premier a pour valeur at X - , ou 9. Quant au
2 2 deuxième, quieslles- dupremier, il estégal à 9 X g* ou à 6.
En effet: 1°. 9+21 donne 3 o , qui est bien le quintuple de 6; 2°. 6+21 donne 27, qui est le triple de 9. Donc les deox nombres 9 et 6 sont les nombres cherchés.
' Quatrième problème. — On emploie trois ouvriers pour faire un ouvrage. Ce jiremier le ferait seul en 1 2 jours , en
travaillant i o heures par jour ; le deuxième dans i5 jours , en travaillant 6 heures par jour ; le troisième dans 9 jours, en travaillant 8 heures par jour. On demande, i°. dans combien de temps ces trois ouvriers, travaillant ensemble , feront cet ouvrage; 2 0 . ce que chacun en fera; S*, ce qu’il gagnera. Fou- 'je total étant payé 108 francs.
Solution. — Observons d’abord que, d’après l’énoncé, le premier ouvrier ferait seul la besogne dans 12 X 10, ou 120 heu-
res ; donc, en 1 heure , il ferait — — de l'ouvrage.
Le deuxieme le ferait dans i5 X 6, ou 90 heures; ainsi, en 1
heure, il en ferait — .
Le troisième le ferait dans 9x8, ou dans 72 heures ; donc, en 1 heure, il en ferait —,
Ces trois ouvriers, travaillant ensemble, feraient donc, en
t Heure, 1 , ou^r-, c est-a-dire — de l’ou-
120 90 72 3bo 3o
rage.
Or, s’il leur faut 1 heure pour faire de l'ouvrage, il est
clair qu’ils emploieront 3o heures pour faire l’ouvrage tout entier.
Maintenant , puisqu’en 1 heure le premier ouvrier fait - ,
en 3o heures il fera -ï- x3o, ou^ = — . De même, le 120 4 >2
deuxième feraen3o heures, x3o,ou^== — . Enfin , le troi-
sième fera en 3o heures, — X 3o, ou — .
Il ne reste plus actuellement qu’à savoir ce qui revient à chaque ouvrier, en raison de la besogne qu’il a faite. Or, pour cela, il suffit de diviser 1 08 en parties proportionnelles aux trois 3 4 5
fractions — , —, — , ou plutôt, aux trois nombres 3, 4. 5:
PROGRESSIONS Et LOGARITHMES. 32g
ce qui donne (n° 229) 27, 36, et 45, pour les tro» {«.tins demandés.
Les diverses questions que nous venons de résoudre, sont du genre de celles que plusieurs auteurs traileut par la règle dite de fausse position simjde ou double. Nous avons cru devoir passer cette règle sous silence, parce qu’en général , elle laisse beaucoup de vague dans l’esprit, et que la démonstration rigoureuse de ses procédés est fondée sur certains principes de l’Algèbre, principes qui d’ailleurs s’appliquent avec bien plus de facilité à la résolution immédiate de ces mêmes questions.
