CHAPITRE VIII

Théorie fies Progressions et des Logarithmes.

Ce traité d’Aritlimétique serait incomplet s’il ne renfermait au moins les premières notions de la théorie des logarithmes. Cette belle découverte, due à Néper, baron écossais, est une des plus importantes quiaient jamais été faites dans les Mathématiques, puisque avec le secours d’une table de logarithmes, on parvient à effectuer, en très peu de temps, les calculs numériques les plus compliqués.

Mais avant de développer les principes de cette théorie , il est indispensable de faire connaître les propriétés principales de deux suites de nombres , suites que l’on peut regarder comme présentant une extension des équi-différences et des proportions : ce sont les progressions par différence et les progressions par quotient.

§ l' r . Des progressions.

238 . Progressions par différence ( autrefois progressions arithmétiques ■). — On appelle ainsi une suite de nombres tels que chacun surpasse celui qui le précède, ou en est surpassé,

PROGRESSIONS

d’un nombre constant qu’on nomme la raison ou la différence de la progression.

Ainsi, soient, les deux suites

dans la première , chaque terme surpasse celui qui le précède , du nombre constant 3 ; en elïet, 5 — 2=3; 8 — 5 = 3 ;... 3 est dit la raison ou la différence de la progression.

Dans la seconde, chaque terme est surpassé par celui qui le précède, du nombre constantS; ainsi 60 — 55 = 5 ; 55 — 5 o= 5 ; 5 o — 4 ^ = 5 ; ....

5 est donc la raison de la progression.

La première s’appelle une progression croissante , parce que les termes y vont en augmentant ; et la seconde , une progression décroissante , parce que les termes y vont en diminuant.

Pour exprimer que les nombres sont en progression par différence, on place en tète le signe ï qui signifie comme (n° 499 ), et après chaque terme , un point qui signifie est à.

Cette notation est fondée sur ce qu’une progression par différence n’est autre chose, d’après sa définition , qu’une suite d ’équi-dfférences continues. ( Voyez n° 203.)

La progression s’énonce d’ailleurs ainsi ( en considérant la première des deux progressions ci-dessus) :

Comme 1 est à 5 , 5 est à 8 , 8 est à 1 1 , 11 est à 1 4 ; ou plus simplement, 2 est à 5 , est à 8, est à 11 , est à 14...

N. B. — Il est aisé de voir, dans cette suite d’équi-différences ,

que chaque ternie de la progression proposée est à la fois conséquent et antécédent, à l’exception du premier terme qui n’est qu’antécédent, et du dernier des termes que l’on considère, lequel n’est que conséquent.

239. Première propriété. — Evaluation d’un terme de rang quelconque au moyen du premier terme.