PAU DIFFÉRENCE

Il résulte de la définition d'une progression par différence, que, dans une progression croissante ,

Le deuxième terme est égal au premier plus la raison ;

Le troisième est égal au deuxième plus la raison, ou bien, est égal au premier plus deux fois la raison ;

Le quatrième est égal au troisième, plus la raison ; ou au premier plus trois fois la raison.

En général , un terme de rang quelconque est égal au premier, plus autant de fois la raison quil y a de termes avant celui que l’on considère.

Pour fixer les idées sur cette propriété, et en présenter un énoncé plus concis , considérons la suite des nombres

que nous supposons former une progression croissante ; et désignons par r la raison de la progression.

On a évidemment, d’après la nature de la progression,

c = i4 , r = »+ r -|- r — n -j- ar, c/ = c r = a 2 /' -f- r = a 3r,

Donc, si n désigne le rang d’un terme quelconque /, auquel cas (n — î) exprime le nombre des termes qui précèdent, on a

évidemment l = a -+■ (n — i)r (i) ,

expression qui , traduite en langage ordinaire, revient à l’énoncé ci-dessus.

Si la progression était décroissante , on aurait au contraire, b = a — r,

c — b — r = a — r — r = a — 2 r, d ■= c — r = a — ir — r = a — 3r,

et par conséquent, l = a — (n — i)r. . . ( 2 ).

Les deux formules ( 1 ) et ( 2 ) servent à déterminer un terme

PROGRESSIONS

quelconque de la sérié, sansqu’on soit obligé de calculer tous ceux qui précèdent , puisqu’il suilit de connaître le premier terme , la raison, et le nombre des termes compris depuis le premier jusqu’à celui que l’on veut former.

Soit , par exemple, la progression i 2,5.8.11..., dont on demande le ao'" 1 ' terme.

On a ici, <2=2, r=3, et n = 20; donc la forinule(i) devient l— 2 -J- 1 9 x 3 = 5g.

On trouverait de même pour le 6o' m ' terme ,

Soit encore la progression ; 80. 74-68.62. ... , dont 011 demande le \ % im ‘ terme.

On a dans ce cas , a = 80, r = 6. ra=i2; donc la formule (2) donne l — 80 — 1 1 X 6= i4-

240 Conséquence de la propriété précédente. — Ces mêmes formules conduisent à la résolution d’une question très importante qui a pour objet d’insérer entre deux nombres donnés , autant que l’on veut de moyens différentiels , c’est-à-dire d’autres nombres formant avec les deux nombres donnés, une progression par différence.

Proposons-nous, pour premier exemple , rl ’ insérer entre 3 et 57, HÜIT MOYENS DIFFÉRENTIELS. *

Puisque la progression que l’on veut former, doit , y compris les deux nombres donnés , être composée de 8 -f- 2 ou de 1 o termes , il s’ensuit (n° 239 ) que le dernier terme 57 est égal au premier 3, plus g fois la raison ; donc , si de 57 on retranche 3, la différence 54 sera égale à g fois la raison ; et par conséquent, le <j imc de 54, ou 6, sera l’expression de la raison qui doit régner dans la progression.

Connaissant la raison , il est facile d’en déduire la progression, qui est alors

Soient, en général, a et / les deux nombres entre lesquels on