PAH DIFFÉRENCE

veut insérer un nombre m de moyens différentiels y si l’on désigne d’ailleurs par n le nombre total des termes, on aura n= m + 2 ; d’où n — i = m -+• i ; et les deux formules du numéro 231) deviennent »

De la première on tire, en retranchant a des deux membres .

I — a = (ni 4* i) r, d’où r = — .

Pour la seconde , il faut ajouter aux deux membres, (m- f- i)r, puis en retrancher l, ce qui donne

(m-\-l)r=a — l, d’où r=—

Donc , pour insérer entre deux nombres donnés , autant de moyens différentiels que l’on veut , il faut retrancher le plus petit nombre du /dus grand, et diviser la différence par le nombre total des termes à insérer, plus UN.

Le résultat ainsi obtenu exprime la raison de la progression, qui peut, d’ailleurs, être croissante ou décroissante.

Soit proposé , pour second exemple, d'insérer entre 2 et 29 , 35 moyens différentiels.

Ici , l’on a a = 2 , l— 2 <j , m — 35 ; donc r = “jg—" — | î et la progression demandée est

Le 20 w ' terme de cette progression, ou le ig' 1 "' moyen diflé-

rentiel,a pour valeur (n° 239) /= 2 -j-igX 16 -p

Le 3’] m ‘ terme , ou le dernier terme de la progression . est

/ = a -f- 36 X ^ = 29 ; ce qui iloil être

241. Remarque. — Si, entre les termes consécutifs d'une progression par différence , considérés deux A deux, on in-

334 PROGRESSIONS

s'ere un même nombre de moyens différentiels , toutes les progressions partielles ainsi formées composent une seule et même progression.

En êffet, soit la progression i a . b . c . d . e .f. . . ; et soit m le nombre des moyens qu’on veut insérer entre a et b, puis entre b et c, puis entre c et d. . . ; les raisons des progressions partielles seront, d’après ce qui vient d’être dit, exprib — a c — b d — c

mees respectivement par , , — or, toutes

ces quantités sont égales, puisque a,b,c. . étant en progression , on a b—a—c — b = d — c. . . ; ainsi, la raison est la même pour toutes ces progressions partielles. Comme d’ailleurs , le dernier terme de chacune d’elles est en même temps le premier terme de la suivante , on peut conclure que toutes ces progressions partielles constituent une progression unique.

Soit, par exemple , proposé d ’ insérer 10 moyens différentiels entre deux termes consécutifs quelconques de la progression

La raison est ici , , . , . . ou bien — .

Il 11 1 i 11

O11 a donc

fu-.iii-. . . 2 - 2 -, 3 . 3 —. 3 - 4 -. . .4— . 5 . 5 — .

progression évidente.

Nous ferons bientôt usage de cette remarque, qui est très importante.

242 . Seconde propriété. — Dans toute progression par différence, la somme de deux termes quelconques pris à égale distance des deux termes extrêmes , c’est-à-dire du premier et du dernier, est égale à la somme des deux extrêmes.

Ainsi , dans la progression

7 i .4. 7 • to. i 3 . 16. 19. 22 . 2.5 . 28. 3 1 . 34.37 , on a i 4-37 = 4 + 34 — 7 + 3 1 = 1 o -f- 28. . . .