PAH DIFFERENCE
Pour nous rendre compte de cette propriété d’une manière générale, appelons a et / les deux termes extrêmes, x un terme qui occupe le p t,m ‘ rang, c’est-à-dire qui en a {p — i) avant lui, et y un terme qui en a ( p — i) après lui.
Cela posé, l’on a d’abord, en vertu de la formule dun°23f>,
Actuellement, si l’onjic considère que la partie de la progression, comprise depuis le tenue y inclusivement jusqu’au terme/ aussi inclusivement, le nombre total des termes de cette progression partielle est p , et l’on a encore
l —J + {j>— Of-
D’où l’on voit que / surpasse y de la même quantité que x surpasse a. Donc les quatre nombres a, x,y, /, forment une équi-dffêrence. Or, dans toute équi-diflérence , la somme des moyens est égale à la somme des extrêmes (n“ 201) ; ainsi, l’on a x+y-a+l- C.Q.F. D.
N. R. — Lorsque la progression est composée d’un nombre impair de termes, celui du milieu forme avec les deux extrêmes une é qui- différence continue ; et par conséquent (n° 205) il est égal à la demi-somme des deux extrêmes.
Ainsi, dans la progression ci-dessus i i .4.7.... qui se compose de i3 termes, le 7”' terme, ou 19, est égal à * ^ , ce
qui est évident.
243 . Conséquence. — Cette propriété fournit un moyeu trèssimple d 'obtenir l’expression de la somme de tous les termes d'une progression par différence.
Soit en effet la progression .... 7 a.b.c i.k.l j
et désignons par S la somme inconnue de tous ces termes, n étant d’ailleurs le nombre des termes. Concevons que l’on ait écrit celle progression au-dessous d’elle-mème, dans un ordre inverse, ce qui donne t l.k.L . . . . c.b.a •,
PROGRESSIONS
il est d’abord évident <jue la somme de tous les tenues de ces deux progressions, est égale à 2S.
D’un autre côté , comparant deux à deux les ternies compris dans une même colonne verticale , on a , d'après la propriété précédente, a -j- /= b + k = c-f- 1. . . . j donc 2 S est égal à la somme partielle, a + / , prise autant de fois qu’il y a de ternies dans la première progression ^et par conséquent ,
d ou , en divisant par 2, S = — ,
c’est-à-dire que la somme des termes d'une progression par différence est égale au produit de la somme des extrêmes , multipliée par la moitié du nombre des termes.
Applications. — i°. On demande la somme des 25 premiers termes de la progression . . . . f 2 . 7 . 1 2 . 1 7. . .
Il fautd’abord rechercher l’expression du 25*' terme. Or, la raison étant ici 5 , on a (n° 239)
Donc — — = — — 1 55o.
2 0 . On demande la somme des 100 premiers termes de la progression . . . . î 1 . 3 . 5 . 7 . 9. . . .
On trouve d’abord pour le 100”' terme ,
Donc a = - ^ -= 10000. ou le carre de 100.
Généralement, le n 1 ""' terme de celte progression étant l — 1 + (n — 1) 2= in — 1, on trouve pour la somme des n premiers termes, ■>»
■ ~ n’, ou le carré, de n.
Ainsi, la somme des i5 premiers termes est égale à. . l5 X l5 OU 225.
EA* Ql’OTIElVT.
844 . Des progressions par quotient (ou géométriques). — Ou nomme ainsi une suite de termes dont chacun est égal à celui qui le précède , multiplié par un nombre constant qui est encore appelé la raison de la progression.
La progression est dite croissante ou décroissante , suivant que ta raison, ou le nombre constant qui exprime le rapport d’un terme à celui qui le précède, est plus grand ou plus petit que l’unité.
Une progression par quotient s’e'crit en plaçant deux points après chacun des termes, et le signe H en tète, parce que, d’après la définition, l’on peut regarder ces nombres comme formant une série de proportions continues.
Par exemple , soient les deux suites de nombres
Dans la première , chaque terme est égal à celui qui le précède multiplié par 3 ; ainsi, c’est une progression par quotient dont la raison est 3 . •
Dans la seconde , chaque terme est la moitié de celui qui le précède, ou bien, est égal à celui qui le précède multiplié par
la fraction - ; donc, c’est une progression par quotient dont la
raison est
On énonce d’ailleurs ces progressions de la même manière que les progressions par différence, savoir,
2 est à 6 , est à 1 8 , est <i 54 , est à 162 , . . . ; . „ . , .3 .3
et 12 est a o, est a o , est a - , est a - r. ...
Si l’on envisage chaque progression comme une suite de proportions continues, il eu résulte que chaque terme de la progression esta la fois conséquent et antécédent, à l’exception Arilh . B. 22
PROGRESSIONS
du premier qui n’est qu’antéccdent , et du dernier qui n’est que conséquent.
Les progressions par quotient jouissent de propriétés analogues à celles des progressions par différence.
24S. Première propriété. — Évaluation d'un terme de rang quelconque dans une progression par quotient.
Soit la progression par quotient , générale,
et désignons par q là taisdn , qui peut d’ailleurs être > ou < i . Ou aura évidemment les égalités suivantes
b=aq,
C—bq— aq X = d — cq = aq‘ X f J= aq ' , e = dq-=z aq z X q~aq x ,
d’où l’on voit qu’en général, un terme de rang quelconque est égal au premier terme multiplié par une puissance de la raison , dont l’exposant est marqué par le nombre des termes qui précèdent celui que l'en considère.
Ainsi , désignant par n le nombre des termes compris inclusivement depuis le premier jusqu’au terme l, on obtient la formule
7=Vx q n ~\
au moyen de laquelle on peut aisément tTotiver la valeur d’un terme , sans être obligé de former tous ceux qui le précèdent Applications. — i°. On demande la valeur du 12 e terme de
la progression .... ri 2 î 6 : 1 8 ;
La formule devient 7=2 X, 3 ".
D’abord , la 4 ' puissance de 3 est 3 x 3 X 3 x 3 , ou 81 ; multipliant 81 pat 81, on obtient 656 i pour la 8* puissance. Multipliant €l 56 i par 27, 3 ' puissance de 3 , on trouve 177147 pour la il* puissance.
