PAU QUOTIENT

Doue «tilin , / = îX i77'47 = 3542 ;, 4-

2". On demande le 10' terme de la progression

On trouve Han* re cas, /= 11 X '

Or le cube de 2 est 8; le cube de 8, qui n'est évidemment autre chose que la 9' puissance de a, est égal à 5ia; donr

5ta

A”, /i. — Si le rang du terme était un peu éloigne , le calcul deviendrait assez laborieux ; mais 011 n’en parviendrait pas moins à l’expression de ce ternie par des multiplications successives. Toutefois, on peut juger, par le premier exemple, avec «nielle rapidité les puissances d’un nombre augmentent de valeur lorsijue le degré de la puissance est un peu considérable, puisque dans la progression H 2 I 6 ; 18 on

obtient 354294 pour le 12* terme seulement.

246. Conséquence de la propriété précédente. — Insérer entre deux nombres donnés , a et 1, un nombre quelconque m de moyens proportionnels. (On appelle ainsi d’autres nombres formant, avec les deux nombres donnés, une progression par quotient.)

Solution. — Il est évident que pour former la progression, il suffit d’obtenir la raison.

Or, de la formule l — aq '~' , on déduit, en divisant les deux membres par a ,

D’ailleurs, n exprimant le nombre total des termes, on a nécessairement n — rn -f- 2, et par conséquent, n — 1= m 4. 1.

Donc enfin , q —

PROGRESSIONS

D’où l’on voit que, pour obtenir la raison, il Jaui d'abord diviser le second nombre donné par le premier, puis extraire du quotient , une racine d’un degré marqué pur le nombre des termes à insérer plus un.

Connaissant la raison de la progression , il est facile d’en obtenir les différents termes; il suffit de multiplier successivement le premier terme, a, par la 1 ", par la 2 ', par la 3 e puis-

sance de q ou de

Ainsi, par exemple, le 4“ moyeu proportionnel, qui n’est autre chose que le 5* terme de la progression, aurait pour va-

leur, a X

et ainsi des autres.

N. B. — Nous ne connaissons encore aucun procédé pour extraire une racine d’un degré supérieur au 3 e . Mais notre objet principal est d’obtenir pour les progressions par quotient, des formules analogues à celles qui ont été établies pour les progressions par différence. Nous donnerons d’ailleurs bientôt un moyen très-expéditif d’effectuer ces sortes d’opérations.

247. On démontre, comme pour les progressions par différence, que si , entre tous les termes d’une progression par quotient, considérés deux à deux , on insère un même nombre de moyens proportionnels , les progressions partielles ainsi formées constituent une progression unique.

Soit a b ' c d . . . ,\a progression proposée.

La raison, pour la première progression partielle, serait

pour la seconde,

Or on a, par hypothèse, =

donc , les nombres

sont égaux , etc.