PAR QUOTIENT

948. Seconde propriété. — Dans toute progression par quotient, le produit de deux termes quelconques également distants des deux extrêmes, est égal au produit des extrêmes.

Soient eu effet let jr deux termes dont l’un en ait ( p — 1 ) avant lui , et l’autre ( p — 1 ) après lui.

Le tenue x est égal au premier a multiplié par q*~' ; et l’on a x= a X q r ~‘.

Le dernier terme l est égal au terme y multiplié par q*~'\ et l’on a l—J X q r ~' ; d’où l'on voit que les termes a, x,j, et l, forment une proportion ...,a x jr \ l.

Donc ( n° 208) . . . C. Q. F. D.

249. Désignons enfin par P le produit de tous les termes de la progression H a ' b ; c : ; i : k l, mul-

tipliés entre eux, en sorte que l’on ait

P = abc ikl,

ou P = Iki cba ;

on en déduit P*=abc ikl X Mi. , .cba,

ou bien encore , en intervertissant l’ordre des facteurs,

P* = al X bk X ci X . . . . ic X kb X la ;

mais on vient de voir que al=bk = ci. ... ; et le nombre de ces produits partiels est égala n,’ nombre des termes de la progression proposée ;

ainsi , P 1 = (al)*,

et par conséquent ,

P = V (aly \

ce qui démontre que le pivduil de tous les termes d’une progression par quotient est égal à la racine carrée de la n 1 '”' puissance du produit des deux extrêmes.

Cette formule correspond h celle qui donne la somme des

SêfO, RAPPROCHEMENT WBS OTX'X PROGRESSIONS.

fermes d’nwe progression par différence , savoir, S — ( - a+ 1 ) "

Nous n’exposerons point ici le moyeu d’obtonir V expression de la somme des tet*mes d’une progression par quotient, parce que cette question est tout-à-fait inutile pour le but que nous nous sommes propose , et que d’ailleurs elle suppose quelques principes d’ Algèbre , que nous n’avons point encore démontres.

280. Correspondance entre les propriétés des deux espèces de progressions. — Rapprochons actuellement les résultats obtenus plus haut.

Prog. par diff. Prog. par quotient.

I=a + (n— i)r. . . . (n° 239), . . .IrraXT'' • • (n°243),

r = ^7 (, ‘° 2 * 0) ’ • • • qz= Y /a (n ° 246) ’

S — (n° 245), ... P = y/ ( al) n . . . (n° 249).

Ces formules nous montrent que les opérations qui s’exécutent sur les éléments U’une progression par quotient, correspondent à des opérations plus simples , exécutées sur les éléments analogues d’une progression par différence.

Ainsi , la multiplication correspond à une addition ; la division à une soustraction;

la formation des puissances à Une simple multiplication ;

V extraction des racines à une division.

Guidé sans doute par ces considérations, le célèbre inventeur des logarithmes est parvenu à simplifier les calculs arithmétiques, à partir delà multiplication, en remplaçant les opérations à effectuer sur les termes d’une progression par quotient , par d’autres opérations faites sur ceux d’une progression par différence. Comme , dans un ouvrage élémentaire, il' est impossible d’entrer dans tous les détails de cette'importante découverte,

ois logahitumbs bn oénArai.. 3 j 3

nous nous plierons à on faire connaître les résulta U principaux.

5 II. Des Logarithmes .

23 t. Considérons une progression quelconque par quotient, dont le premier tenue soit toutefois égal à i , et une progression par différence , dont le premier terme soit égal à o. Soient , par exemple, les deux progressions

Chaque terme de la progression par différence est dit le logarithme du terme qui occupe le incuie rang dans la progression par quotient.

En général, on entend par logarithmes , des nombres en progression par différence , qui correspondent , terme pour terme ,

,ù des nombres en progression par quotie.nl , sous la condition , toutefois, que l’un des termes de la progression par. quotient * soit 1, et qu’il ait o pour ternie correspondant dans la progression par différence (nous verrons bientôt la raison de cette restriction) ; .et le logarithme d'un nombre eu particulier, est le terme de la progression par différence, .qpi j tient le meme rang que celui qu'occupe, dans, la progression. par quotient, le nombre que d’on considère.

282 . Première propriété. — Soient a, b, deux termes pris au hasard dans la progression (A) ;,et proposons-nous d’en obtenir le ; produit.

rA cet effet, considérons \e premier terme tde la progression (A) , deux tenues a, b,, et un quatrième tçqpe.c, .tel qu’il, y ait autant de ternies entre b et c, qu’entre i et a. Supposons d’ailleurs la progression (A) arrêtée au terme c.

Considérons de même, dans la progression (H), les .quatre termes, qui correspondent aux nombres i, a, b t c, c’est-à-dire