DES LOGARITHMES

leurs logarithmes, que nous désignerons, pour abréger, par o, log. a, log. 0 , log. c ( la notation log. signifiant logarithme de).

Cela posé, il résulte d'abord delà propriété du n° 248, que les quatre nombres 1 , a, b , c , forment une proportion , puisque a, b, sontdeux termes pris à égale distance des extrêmes, dans une progression arrêtée au terme c.

Ainsi , l’on a iXc = aXM" c — a X b.

D’un autre côté, les quatre termes o , log. a , log, b, log. c, forment aussi (n° 259) une équi-différence.

Ainsi , l’on a : o -f- log c = log. a -f- log. b,

ou simplement log. c = log. a -f- log. b.

Donc , en mettant à la place de c sa valeur a X b , s log. {a X l>) = log. c -f- log. b .

D’où l’on voit que le logarithme du produit de deux nombres de la progression (A) est égal h la somme des logarithmes de ces deux nombres.

D’après cela, pour obtenir le produit de deux nombres quelconques de la progression (A) , il suffit de prendre leurs logarithmes dans la progression (B), de les ajouter, puis de chercher à quel nombre correspond celte somme ; le nombre correspondant est le produit demandé.

Ainsi , soient les deux nombres 64 et 256 , dont il faut obtenir le produit.

Je prends leurs logarithmes 18 et 24 dans la progression (B); je les ajoute, ce qui donne ; puis je cherche à quel nombre correspond !pi \ et je trouve 1 6384 pour le produit demandé.

On trouve de même que 12 + 27, ou 3g, somme des logarithmes de r6 et 5i2 , correspond h 8192 , produit des deux nombres 16 et 5i2.

283. Conséquence. — Soient a, b, c , d... plusieurs nombres delà progression (A); il résulte de ce qui vient d’être dit, que

El» GÉM'.UAL.

log. abc = log. ab -f- log. es: log. a-f-log. b -|- log. c; log. abcd— log. abc, 4 - log. d=log. fl-f- log.A+ log.c + log.e/;

et ainsi de suite.

Doue , en général , le logarithme du produit d’un nombre quelconque de facteurs est égal à la somme des logarithmes de tous ces facteurs.

Ainsi, pour obtenir le produit de plusieurs nombres de la progression (A) , il suffit d’ajouter leurs logarithmes pris dans la progression (B) , et de déterminer à quel nombre correspond la somme ; le nombre correspondant est le produit demandé.

2ü4. Remarque. — Les deux égalités c=aX.b et . . . log. c = log. a -+- log. b , desquelles on a déduit la propriété précédente, supposent évidemment que le premier terme de la progression (A) est égal à 1 , et que le premier terme de la progression (B) est égal à o.

Voyons ce qui aurait lieu si les premiers termes étaient des nombres quelconques, k pour la première, et log. k pour la seconde.

On aurait , en vertu de ce qui a été dit (n° 282) ,

1 ®. Pour la progression (A) , d’où

a°. Pour la progression (B),... log. A-+log.c = log.a+log.i,

d’où log. c=rlog.a-f-log.i — log.Æ;

c’est-à-dire que la somme des logarithmes de deux nombres a et b de la progression (A) , diminuée du premier terme de la progression (B), serait égale au logarithme du quotient de la division du produit des deux nombres a et b , par le premier terme de la progression (A).

Ainsi, pour faire usage de celte propriété, il faudrait, i°. faire la somme des logarithmes ; 2 °. retrancher de cette somme le premier terme de la progression (B) , et chercher à quel nombre

UES EOGARITHMES

de la progression (A) correspondrait la différence; 3°. multiplier le nombre correspondant, par le premier ternie de la progression (A) ; et l’on obtiendrait le produit demandé.

On serait donc conduit à faire une addition , une soustraction et une multiplication , pour trouver le résultat d’une multiplication.

Dans l’hypothèse des premiers termes égaux à 1 et à o, La soustraction et la multiplication disparaissent; cette hypothèse est (donc indispensable (voyez n° 261).

288. Deuxième propriété. — Puisque, dans la division, le dividende peut être regardé comme un produit dont le diviseur et le quotient sont les deux facteurs, il s’ensuit que le logarithme du dividende est égal à la somme des logarithmesa'espectifs du diviseur et du quotient; ainsi, retranchant le logarithme du diviseur de celui du dividende, on obtiendra le logarithme du quotient.

Donc, le logarithme du quotient de la division de deux nombres de la progression (A), est égal à l’exc'es du logarithme du dividende sur celui du diviseur.

D’après cela, pour effectuer une division sur deux nombres qui appartiennent à la progression (A), il suffît de prendre dans la progression (B), le logarithme du dividende et celui du diviseur, de retrancher le second du premier, et de déterminer à quel nombre de la progression (A) correspond celle différence ; on obtiendra ainsi le quotient demandé.

Soit proposé de diviser i638j par 256.

Je prends dans la progression (B) , les logarithmes , et 24 , de ces deux nombres; je retranche 24 de , ce qui me donne r8. Je cherche le nombre correspondant à 18 , et je trouve 64 .pour le quotient demandé.

Lu 'propriété relative à la division s’exprime -ainsi dîune manière abrégée : log. ^ = log. a — log. b.

286. Troisième propriété. — Une puissance de degré quelconqued’un noiribre étant (n° 108, • i j°;)'le produit d’autant de facteurs égaux à ce nombre, qu’il y a d’unités dansdVxywrtnf de

EN GENÉUAL.

la puissance, il s’ensuit évidemment (n° 285} que le logarithme d’une puissance de degré quelconque , d'un nombre de la j>rogression (A), est égal au logarithme du nombre , multiplié pat l’exposant de la puissance -

Ainsi, tog. «*, éu log. a. a. a. a. a = 5 lop, a ; l°lï- rt 7 = 7log.a; et en général , log. n" r= rn X log. a.

Donc, pour obtenir le résultat de la formation d’une puissance d’un certain nombre de la progression (A), il suffit de prendre dans la progression (B) le logarithme de ce nombre, de le multiplier par l’ exposant de la puissance , et de déterminer à queifiiombre de la progri’ssion (A) correspond ce produit ; le nombre correspondant sera la puissance demandée.

Par exemple, soit à élever 32 à la 3*"' puissance.

Je prends -i 5 , logarithme de 3?. ; je le inrihtpKe par 3 , exposant de , 1 a puissance, ce qui me donne 45; je cherche à quel •nombre correspond f\5 , et je trouve 32768 pour la 3 €a ” puissance de 32.

287. Quatrième et DEicaÈKE propriété. — On sait que deux nombres exprimés l’un par a et l’autre par a" sont liés entre eux de 'telle manière que, le second étant la rn Um ‘ puissance du premier, réciproquement le premier est la racine rn Um ‘ du second.

'Or, on vient de prouver que. . . log. o m = m log.-a ;

donc, en divisant, par m, lqg. <1

c’est-à-dire que le logarithme d’une racine de degré quelconque d’un nombre, est égal au logarithme de ce ^nombre ^divisé par l’indice de la racine à extraire; ce qui s’exprime ainsi :

log. y b r~

Par conséquent, pour extraire la racine m'""' d’un nombre de laprogressioD (A ) , il suffit de prendre son logarithme dtins la progression (-B) , de le diviser par in , puis de chercher à