NOMBRE QUI LUI CORRESPOND

Lorsque , pour effectuer certaines opérations arithmétiques , ou emploie le secours des logarithmes, on parvient ordinairement à un résultat qui exprime le logarithme du nombre cherché ; et il faut, au moyen de la table, déterminer à quel nombre correspond ce logarithme.

i°. Considérons le cas où la caractéristique est 3 , ou la plus forte de celles qui se trouvent dans les petites tables.

Soit à trouver le nombre correspondant au logarithme 3 , 45936 ?

On commence par chercher ce logarithme parmi ceux des nombres de quatre chiffres; et l’on trouve qu’il est compris entre 3 , 45924 et 3 , 4593 g qui sont les logarithmes de 2879 et 2880 ; donc le nombre cherché est égal à 2879 plus une certaine fraction.

Pour obtenir cette fraction , on prend la différence tabulaire 1 5, et la différence 12 entre le logarithme donné et celui de 2879 ; puis on établit la proportion :

Si, pour i 5 cbnt— millièmes de différence entre log 9.880 et log 2879 , on a une unité de différence entre ces nombres , combien, pour 12 cent-millièmes de différence entre le logarithme donné et celui de 2879 , doit- on avoir de diférence entre les nombres correspondants ?

Ou bien, t 5 ; 1 ” 12 I x: d'où x 0,8.

Ajoutant ce 4 "”’ terme à 2879, on obtient 2879,8 pour le nombre demandé.

Voici le tableau des calculs :

Appelant N le nombre cherché, on a logN — 3 , 45 g 36 .

On trouve dans la table. log 2879 = 3 , 45924

Dff c ' 12

Pff cr tab " . . . . if»

USAGE

Il : z= o,8;

donc

jN = 2879,8.

266. N. B. — La valeur obtenue pour .N dans l’exemple précédent , a été trouvée , avant la réduction en décimales , é;;ale

à 2879 -1 — ^ (à un 1 5' prés), en supposant la proportion exacte,

hypothèse qui peut et doit être admise ici ( n° 264), puisque l’on reconnaît à l’inspection de la table de logarithmes que des accroissements constants et égaux à 1 , faits sur les nombres, correspondent (pour cette portion de la table) à des accroissements constants et égaux à 1 5 unités (de l’ordre des cent-millièmes ) , faits sur les logarithmes correspondants, ou bien , ce qui revient au même, qu’une unité (de l’ordre des cent-millièmes ) d’augmentation sur les logarithmes , correspond à d’augmentation sur les nombres.

Maintenant , au lieu de laisser au 4' terme de la proportion ^ ou à la fraction cette forme, sous laquelle il s’était

naturellement présenté, nous l’avons réduit en décimales, comme cela se fait ordinairement pour la commodité des calculs ; et nous avons trouvé ainsi la fraction 0,8, exactement

éjale à Or, il est important d’observer que si la réduction

ue s’était pas faite exactement en dixièmes, il u’en aurait pas moins fallu arrêter cette opération au premier chiffre décimal ; et nous allons en donner la raison.

Chaque i5* contenant autant de 100“ que le nombre 100 contient de fois le nombre i5, il s’ensuit que quand on sait combien un nombre contient de i5 n (à un près) on ne sait pas pour cela combien ce nombre contient de 100", de 1000”, de 10000”; tandis qu’au contraire on peut bien conclure le

nombre de io*‘ (à un près) de celui des i5”, puisque —étant

OES T/tM.ES.

plus grand que —p , chaque i 5 * d’augmentation ne peut pas

taire croître le nombre de plusieurs io'* à la fois.

De ce raisonnement généralisé résulte la règle suivante, applicable à tous les cas où , cherchant un nombre au moyen de son logarithme , on est obligé d’employer la proportion pour le déterminer : le nombre de chiffres décimaux qu’il est permis de calculer pour le 4 e terme , doit toujours être inférieur , au moins d'une unité , au nombre de chiffres qui composent la différence tabulaire, diminué d'une unité. Cette règle est générale, quelle que soit la table que l’on emploie : ainsi la table de Collet donnera le chitfre des 100” toutes les

fois que la différence tabulaire dépassera 100, mais seulement celui des io CI dans tous les cas contraires; et la table de Ixxlande ne donnera pas même avec certitude le chitfre des 10", toutes les fois que la différence tabulaire sera moindre que 10. ( Au reste, pour plus de détails , voyez Y Algèbre. )

2°. Soit à déterminer le nombre correspondant au logarithme 1 , 56834 -

On pourrait commencer par rechercher ce logarithme parmi ceux des nombres de deux chiffres; mais, comme il est probable qu’on ne l’y trouverait pas, il vaut mieux ajouter tout de suite 2 à la caractéristique , ce qui donne 3 , 56834 - Cherchant, d’après la règle ci-dessus, le nombre correspondant à ce nouveau logarithme , on trouve 3,56834 — 1 °G ^701 ,2. Or, puisqu’on ajoutant 2 unités à la caractéristique , on a (n° 204 ) multiplié le nombre cherché par 100, il faut , pour obtenir celui-ci, diviser 3701 ,2 par 100; ce qui donne enfin 37,012 pour le nombre demandé , à 0,001 près.

Soit encore à trouver le nombre correspondant à 0,86784. Ou a d’abord. . 3,86784 — log 7376,3 ; donc 0,86784 = log'7,3763, à 0,0001 près.

Soit enfin proposé de déterminer le nombre correspondant

Retranchant d’abord deux unités , on a

3,45976= log 2996,3 ,