OGAHITRMIS

On peut encore avoir recours à l'artifice suivant : mettez — 0,82074 sous la forme 4 — 0,82074 — 4j ce qui revient*/ augmenter et diminuer à la fois le logarithme proposé , de 4 unités ; il vient, ... — 0,82074 = 3,17926 — 4- Or, on a , d’après les tables , 3, 17926 = 105 i5t 1 ; d'où 3,17926—4=108 *5 tt — log 10000 (n° 26i);

et par conséquent, — 0,82074 = log = log o,t5i 1 .

Ce dernier moyen est, en general, plus simple et surtout

plus rigoureux que le premier, parce que , dans l’expression -,

> ■* obtenue par celui-ci , x est un diviseur inexact (*) ; tandis que par la nature du second moyen , on n’a pas à craindre cette cause d’erreur.

Soit encore à déterminer le nombre correspondant au logarithme — 2,35478.

D’abord , ce logarithme étant compris entre — 2 et — 3 , le

nombre correspondant est compris entre et — - — . Mais,

pour en obtenir la valeur d’après le second mojen , on met le logarithme sous la forme 6 — 2,35478 — 6= 3,64522 — 6.

Or, on a 3,64522=105 44*7)9;

donc, 6 — 2,35478 — 6, ou — 2,35478=105 -9- ;

I OOOOOO

ou .bien , — 2,35478 = log o,oo44 * 79-

Ces exemples suffisent pour faire voir que les nombres qui correspondent à des logarithmes affectés du signe — , peuvent souvent être obtenus avec un très-granddegréd’approximation.

Le second moyen consiste évidemment à retrancher le logarithme proposé , d’autant d’unités, plus 4, que la caractéristique en renferme ; à déterminer le nombre correspondant an résultat ainsi obtenu ; puis à diviser ce nombre par l’unité sui-

(*) A r ftyez la Note placée . J t la lin île l'ouvrage, n° 20-

1>ES HtACTIO.VS. 3^3

**e d aultinl de zéros t/u'on a été obligé de prendre d unités pour effectuer la soustraction.

2". On demande la i i puissance de la fraction — Ou

, (n°27S) log (£) = - log (l|) = - , log ||).

Or, log — =0,062 15; d’où, 1 1 X log — = 0 , 68365 ; et

\ = — 0 , 68365 = log 0,2072.

Ainsi, 0,2072 est le nombre demande.

3 °. On demande la racine 7* de - .

On a log = - log yj \. = - Q log ;)

Or, log - = 0,1 7609; d’où - log - = 0 , 025 i 5 ;

donc log = — 0 , 025 1 5 = log 0,94374,

et par conséquent, ^/^ = o, 9.4374.

273 . Scolie. — La recbcrclie des logarithmes des fractions nous a conduit A une espèce particulière de nombres, appelés en Algèbre, nombres négatifs , par opposition aux nombres ordinaires qu’on appelle nombres positifs ou nombres absolus. La considération des nombres négatifs , dans la théorie des/ogarithmes , est aussi indispensable que celle des nombres positifs , puisque c’est par eux seuls qu’on peut exprimer les logarithmes des fractions. Cela est si vrai que , dans l’hypotbèse (très admissible) où l’on aurait d’abord établi le système de deux progressions

374 AUTRE MANIÈRE d’eNVISAGER

auquel cas toutes les fractions auraient eu des logarithmes positifs, et d’autant plus grands que les fractions eussent été plus petites; dans cette hypothèse , dis-je, les logarithmes des nombres de plus en plus grands que runité , savoir.... i , io, ioo, 1000 ,. . ., et tous les nombres compris entre eux, auraient été nécessairement représentés par la série des nombres négatifs o, — i, — 2 , — 3,. . ., et de tous les nombres compris.

Autre manière d’envisager les Logarithmes.

276. Euler, dans ses Éléments d' Algèbre , a établi entre les diverses opérations de l’Arithmétique un rapprochement fort ingénieux que nous allons* d’abord faire connaître, parce qu’il donne lieu à une nouvelle manière d’envisager les logarithmes.

Désignons par a,b,c , trois nombres quelconques, et proposons-nous cette question générale : Deux quelconques de ces trois quantités étant données, déterminer la troisième au moyen de l'une des opérations arithmétiques , effectuée sur les deux quantités données.

L’opération la plus simple sans contredit , et celle qui se présente la première à l’esprit, est l'addition.

Soit donc proposé de trouver c par l'addition des deux nombres a et b.

Cette relation entre les trois nombres a,b,c , sera exprimée par l’égalité

a + b*ac. . . (i),

qui donne en même temps a= c — b, ou b — c — a.

D’où l’on voit que si , au lieu de rechercher c, on demandait la valeûr de a ou de b , la même égalité (i) donnerait la quantité inconnue par une soustraction.

Ainsi, l’addition et la soustraction sont liées entre elles par la même égalité a -f- c.

N. B. — Si , dans l’égalité a = c —-6 , on suppose c < b , la valeur de a se réduit évidemment à un nombre négatif. Ces

LES LOGARITHMES. 3>jS

sorte* de nombres tirent donc leur origine de soustractions indiquées et impossibles à effectuer.

L’addition de plusieurs nombres égaux conduit à la multiplication.

Proposons-nous alors de trouver c par la multiplication des nombres a et b.

Cette relation sera indiquée par l’égalité ab—c. ... (a) ;

d’où l’on déduit a = r . ou b = -.

Donc si, au lieu de chercher c d’après l’égalité (a), on demande la valeur de a ou de b , la division de c par b , ou de c par a , donnera la valeur du nombre inconnu.

Ainsi, la multiplication et la division sont liées entre elles parla même égalité.... ab—c.

N. B. — Dans l’hypothèse de c<^b, ou de c non divisible exac-

tement par b, l’expression y est une fraction ou un nombre

fractionnaire. Donc les fractions tirent leur origine de divisions qui ne peuvent s’effectuer exactement.

Enfin , la multiplication de plusieurs nombres égaux conduit à la formation des puissances.

Supposons donc qu’on veuille obtenir c en faisant le produit de b nombres égaux à a.

Cette relation s’exprimera par l’égalité a* = c. . . (3);

d’où l’on déduit d’abord <* = \/c;

ce qui prouve que , pour obtenir c, quand on connaît a et b, il faut effectuer une formation de puissance ; et que, pour obtenir a , quand on connaît c et b , il faut effectuer une extraction de racine.

Mais actuellement, connaissant a et c, comment trouverons vous b?

Avant de répondre à cette question, récapitulons ce qui vient d’étre dit. .

L’égalité a -\-b — c réunit les deux opérations connue» sou»

i'jd autre manière d’envisager

le nom d’addition et de soustraction ; la seconde de ces deux opérations pouvant d’ailleurs donner lieu aux nombres négatifs.

L’égalité ab = c réunit la multiplication et la division ; d’où naît l’idée d’une fraction ou d’un nombre fractionnaire.

Remarquons eu outre que dans chacune de ces deux égalités a -f- b = c, ab= c , le nombre a , ou le nombre b, s’obtient par le moyen de la même opération effectuée sur les deux quantités connues (ce que l’on exprime en disant que a et b entrent d’une manière semblable ou symétrique dans ces égalités).

De même, l’égalité a h = c réunit la formation des puissances et l’ extraction des racines ; d’où naissent les nombres incommensurables.

Mais il y a cette différence entre cette égalité et les deux précédentes, que, pour trouver a, une extraction de racine suffit ; tandis que, pour trouver b , il faut une opération toute particulière , qui sera en quelque sorte une septième opération de l’Arithmétique.

Or, si l’on applique à l’égalité. a 1 =. c

la propriété du numéro 286 , il vient. . . b. log a = log c;

d’où l’on déduit b = - L-ff-f .

log a

c’est-à-dire que la valeur de b s’obtient par le moyen des logarithmes.