OE LA SOUSTRACTION

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Passant aux dixaines, ou dit : a de 9, il reste 9.

Pour les centaines , connue le chiffre 4 de la ligne supérieure ne vaut plus que 3 , à raison de l’emprunt, et qu’on ne peut soustraire 4 de 3 , on a recours au premier chiffre à gauche j mais celui-ci et le chiffre qui est à sa gauche étant des zéros, on emprunte une unité sur le chiffre significatif 3 ; cette unité eu vaut 10 de l’ordre suivant, 100 de l’ordre des mille ; et puisque l’on n’a besoin que d’une seule unité de cet ordre, on en laisse 99 qu’on reporte sur les deux zéros ; ajoutant 1 mille à 3 centaines, il vient i 3 , et l’on dit : 4 de i 3 , il reste 9, qu’on pface sous la colonue des centaines.

Dans les deux soustractions suivantes, chacun des zéro» étant remplacé par un 9, on dit r 8 de 9, il reste 1 ; et 5 de 9, il reste 4-

Passant à la première colonne à gauche, on dit : 1 de 2 (car le chiff re 3 est diminué de 1) , il reste 1 ; ainsi , l’on a pour le reste demandé , 141996.

En effet, si l’on réfléchit sur la manière dont le nombre su. périeur a été décomposé , on peut disposer ainsi l’opération:

Cent, tic mille. Dix. île mille. Mille. Centaines. Dixaines. Unités. i* r nombre . a 9 9 i 3 9 i 5

a' nombre. .1 5 8 4 2 9

Donc le nombre supérieur surpasse le uornbre inférieur de 6 unités, 9 dixaines, 9 centaines, 1 mille, 4 dixâincs de mille, r centaine de mille, ou de 141996.

Règle générale. — Pour soustraire d’un nombre un autre nombre plus petit, placez le second au-dessous du premier, de manière que les unités d'un même ordre soient sur une même colonne, puis tirez une barre; soustrayez ensuite successivement les unités du petit nombre des unités du grand , les dixaines des dixaines, les centaines des centaines, etc., et écrivez les restes partiels les uns à la suite des autres , en allant de la droite vers la gauche ; le nombre exprimé par l’ers-

ht: la soustraction'.

•ai

semble de tes chiffres est le reste complet, ou le résultat demandé.

Lorsqu un chiffre de la ligne inférieure est plus fort que le chiffre de la ligne supérieure, augmentez par la pensée ce dernier chiffre , de jo unités, et diminuez le chiffre qui est à sa gauche, d'une unité.

Si , immédiatement à la gauche d'un chiffre supérieur plus faible que. le chiffre inférieur correspondant , se trouvent un ou plusieurs zéros , augmentez toujours , par la j>ensée , ce chiffre supérieur, de i o unités • mais dans les soustractions suivantes , remplacez les zéros par des q, et diminuez d’une unité le chiffre significatif supérieur qui est immédiatement à la gauche de ces zéros.

Ou trouvera d’après ce procédé, que si de 6 o 3 ooo^oi on soustrait 30572.4787

le résultat de l’opération est 297275614

15 . Première remarque. — Si chacun des chiffres du noiubie inférieur était moindre que le chiffre supérieur correspondant, il serait indiffèrent de commencer l'opération par la gauche ou par la droite. Mais comme il arrive souvent que l’un des chiffres de la ligne inférieure surpasse le chiffre de la ligne supérieure, la soustraction partielle ne peut se faire que par un emprunt sur le chiffre ou l’un des chiffres à gauche de celui sur lequel on opère; dès-lors, il est necessaire de commencer par la droite, afin de pouvoir faire les emprunts dont on a besoin.

14 . Seconde remarque. — Il est clair qu’au lieu de diminuer d’une unité le chiffre sur lequel un emprunt a été fait , on peut laisser ce chiffre tel qu’il est, pourvu qu’on augmente le chiffre inférieur correspondant, d’une unité. Celte manière d’opérer est en général plus simple ei plus commode dans la pratique.

Elle est particulièrement avantageuse lorsque, dans le nombre supérieur, il y a un ou plusieurs zéros entre deux chiffres significatifs : parce que, d’après le nouveau procédé, il n’y a rien à changer aux chiffres du nombre supérieur.

Ainsi , dan» le dernier exemple, après avoir dit pour les uni-

3 2 l'BKUVES DE e’aDDITIOIV

tés simples : 7 de 1 1 , il reste 4, au lieu de dire pour les dixaiues: 8 de 9, il reste 1, 011 dit : 8 plus 1 , ou 9 de 10, il reste 1 ; de même, au lieu de dire pour les centaines : 7 de 1 3 , il reste 6 , on dit : 7 plus t, ou 8 de 14, il reste 6; puis, pour les mille, 5 de 10, il reste 5 ; puis 3 de 10, il reste 7; et ainsi de suite.

Toutefois, il faut avoir bien soin de n’augmenter le chiffre inférieur qu’autant que la soustraction précédente n’a pu se faire immédiatement; c’est surtout dans la division que nous aurons à faire usage de cette modification.

Preuves de l'addition et de la soustraction .

ici. On appelle preuve d’une opération arithmétique, une autre opération que l’on fait pour s’assurer de l’exactitude de la première.

f,a preuve de l'addition se fait en ajoutant de nouveau, mais à commencer par la gauche , les nombres qu’on a déjà ajoutés. Apres avoir fait la somme des chiffres qui se trouvent dans la première colonne à gauche , on la retranche de la partie qui lui répond dans la somme totale ; on écrit au-dessous le reste, qu'on réduit, par la pensée, en unités de l’ordre du chiffre suivant , pour les joindre aux autres unités de cet ordre contenues dans la somme totale. On fait de meme la somme partielle des chiffres de la seconde colonne à gauche, et l’on retranche cette somme, partielle de la partie de la somme totale qui lui répond; on continue ainsi jusqu’à la dernière colonne , dont la totalité retranchée ne doit laisser aucun reste.

Ainsi, après avoir trouvé que les quatre nombres 85 g 841 >

doivent a voir pour soin me... 1 09 . 5 c)

ztïp

pour vérifier ce résultat ioa 5 g, on ajoute les mêmes nombres en commençant par la gauche, et l’on dit : 5 et 3 font 8 mille.

L1 DE LA SOUSTHACTIOX.

qui ôtes de 10 mille donnent pour reste a mille; ces 2 mille ajoutes au cliilïre 2 ceutaines, font 23 centaines; ensuite, 8 et 5 font 1 3, et 8 font 21 , que l’on ôte de 22, ce qui donne pour reste 1 centaine, laquelle reunie aux 5 dixaines forme iSdixaines ; 4 et 5 font 9, et 4 font 1 3 ; 1 3 de 1 5, il reste 2, qui, suivi du g, donne 2g; enfin, 7 et g font 16, et 7 font 23, et 6 font 2g; 29.de 29, il reste o ; donc l’opération'cst juste.

La preuve de la soustraction se fait en ajoutant au plus petit nombre le reste trouvé pap l'opération ; et il est évident qu’011 doit reproduire le plus grand nombre, puisque ce reste n’est autre chose que l’excès du plus grand nombre sur le plus petit.

Ainsi , dans l’exemple ci-contre, 83458

après avoir trouvé que 54672 est 28784

l’excès du plus erand nombre sur le .

1 0 ' reste. . . . 54072

plus petit, si l’on ajoute cet excès —— - .

au nombre 28784 , 011 doit retrou- preuve. . 83466

ver 8345Ô ; ce qui a lieu eu effet.

16 . V oici de nouveaux exemples d'additions et de soustractions, avec leurs preuves :

.Additions.

Soustractions

2000400 1 oo3

2000400 ioo3