PREUVES DE L’ADDITION ET DE 1.A SOUSTRACTION

Problème. — Un banquier avait en caisse une somme de 65^5o fr. ; mais il a Jait divers paiements. Il a donné à une première personne i3a5 yfr.; à une seconde , 18704 fr.; à une troisième, 22o5o fr.; à une quatrième , g85o fr.; et il veut connaître l’étal de sa caisse après tous ces paiements.

Solution. — Après avoir reuni en une seule les quatre sommes paye'es successivement , le banquier soustrait la somme totale de celle qu’il avait en caisse; elle résultat de cette soustraction exprime ce qui doit lui rester.

T ableau des opérations.

6575o montant de la caisse.

63863 somme payée.

1887 différence.

11 doit rester au banquier 1887 francs.

On remarquera qu’en effectuant l’addition et la soustraction précédentes , on a considéré les nombres proposés comme abstraits j quoiqu’ils fussent concrets d’après l’énoncé ; mais parvenu au résultat 1887 , on lui a donné le nom de l’espèce des • unités exprimées dans l’énoncé. C’est ainsi qu’il faut toujours se conduire dans les applications. Les procédés des opérations étant tout— à-fait indépendants de la nature des nombres, on envisage ceux-ci sous un point de vue purement abstrait, sauf à donner ensuite au résuliat final le nom de l’unité qu’indique l’énoncé de la question.

zixxjj

•JE LA MULTIPLICATION

DE LA MULTIPLICATION

17. Multiplier un nombre par un autre, c’est (n° 9) former un troisième nombre qui soit composé avec le premier, comme le second est composé avec l'unité ; et quand les deux nombres proposés sont des nombres entiers, leur multiplication revient à prendre le premier autant de J ois qu’il y a d' unités dans le second.

On appelle multiplicande, le nombre à multiplier, multiplicateur c.e\\i\ par lequel ou multiplie, ou qui marque combien de fois on doit prendre le premier, et produit le résultat de la multiplication ; les deux nombres proposés portent conjointement le nom de facteurs du produit.

A proprement parler, la multiplication n’est autre chose qu’une addition ; car, pour en obtenir le résultat, il suffirait de placer les uns au-dessous des autres autant de nombres égaux au multiplicande, qu’il y a d’unités dans le multiplicateur, puis d’ajouter tous ces nombres entre eux. Mais cette manière d’opérer serait très longue si le multiplicateur était composé de plusieurs chiffres ; on a donc cherché à la simplifier; et c’est dans cette abréviation que consiste, à proprement parler, la multiplication.

18. Tant que les deux facteurs sont exprimés chacun par un seul chiffre, le produit s’obtient par des additions successives du même nombre; ainsi pour multiplier 7 par 5, ou dit: 7 et 7 font i4, et 7 font ai, et 7 font 28, et 7 font 35 : ce dernier nombre étant le résultat de l’addition de 5 nombres égaux à 7, exprime le produit de 7 par 5.

Les commençants doivent s’exercer d’abord à ces sortes de multiplications, afin de s’en graver les résultats dans la mémoire, et de pouvoir ensuite obtenir avec facilité les produits des nombres exprimés par plusieurs chiffres. Toutefois, jusqu'à ce. qu’on se soit suffisamment exercé, on fera bien d’avoir » sous les yeux une table appelée table de multiplication , ou table de Pvthagore, du nom de son inventeur, ou du moins de celui qui le premier en a répandu l’usage.

OE I.A MULTIPLICATION

Table de Multiplication

Sens horizontal.

-CS-n

JL

JL

Jl

La première bande horizontale de cette table se forme en ajoutant i successivement, jusqu’à ce qu’on soit parvenu au nombre g ;

La seconde, en ajoutant 2 successivement ; la troisième, en ajoutant 3 , et ainsi de suite.

Remarquez d’ailleurs qu’on peut également dresser celte table par colonnes verticales. Chaque colonne verticale est composée des mêmes nombres que la bande horizontale de même numéro. Ainsi, la sixième bande horizontale se composant des nombres 6 , 12 , 18,.. .., 54 , la sixième colonne ( verticale renferme les mêmes nombres 6, 12, 18, ., 54 *

Cela posé , pour trouver, au moyen de cette table, le produit de deux nombres exprimés par un seul chiffre, on cherche le multiplicande dans la première bande horizontale ; et, en partant de ce nombre , on descend verticalement jusqu’à ce qu’on soit vis-à-vis du multiplicateur, qu'on trouvera dans la première colonne verticale : le nombre contenu dans la case correspondante, est le produit.

DF. I.A MULTIPLICATION

l’ar exemple , pour trouver le produit de 8 par 5 , on descend depuis 8, pris dans la première bande horizontale, jusque vis-à-vis de 5 pris dans la première colonne verticale; et le nombre 4° contenu dans la petite case, est le produitdemandé.

On pourrait egalement prendre 8 dans la première colonne verticale, et se diriger horizontalement jusque au-dessous de 5 pris dans la première bande horizontale : on trouverait encore 4o pour le produit demande.

19 . Supposons maintenant que le multiplicande étant exprimé par plusieurs chiffres , le multiplicateur n’en ail qu'un seul. — Soit a multipi.ikr 845g par 7.

On pourrait ( n° 17 ) obtenir le résultat en écrivant les uns au-dessous des autres 7 nombres égaux à 8459, comme on le

voit ci-contre ; 845 g

et en ajoutant successivement 1rs unités simples , 845 g

les dixaines, les centaines , etc. , on trouverait 845 g ainsi pour résultat, 5g2i3. 845 g

Mais il est évident que cela revient à prendre 845 g

successivement 7 fois les g unités du inultipli- 845 g

cande , 7 fois les 5 dixaines, etc., et à faire la 845 g » somme de tous ces produits. 5g2i3

Ainsi , après avoir placé le multiplicateur 7 au- ' 845 g

dessous du multiplicande , comme on le voit ici , 7

et avoir souligné le tout, on dit d’abord : 7 fois g 5g2i3 font 63 ( voyez la table de multiplication), ou 6

dixaines et 3 unités; 011 pose 3 sous les unités, et l’on retient les 6 dixaines pour les réunir au produit des dixaines du multiplicande par 7.

On dit ensuite : 7 fois 5 font 35 , elë de retenue font 4 > dixaines, ou 4 centaines et 1 dixaine; on pose 1 au rang des dixaines, et l’on retient les 4 centaines;

7 fois 4 font 28, et 4 de retenue font 32 centaines, ou 3 mille et 2 centaines; on pose 2 au rang des centaines, et l’on retient 3 .

Enfin, 7 fois 8 font 56 , et 3 de retenue font 5 g, que l’on écrit

28 UE LA MULTIPLICATION

à gauche «les centaines , parce qu’il n’y a plus de chiffres à multiplier dans le multiplicande.

On trouve ainsi 59213 pour le produit demande'.

D’où l’on voit que pour multiplier un nombre de plusieurs

CHIFFRES PAR UN NOMBRE d’üN SEUL CHIFFRE, il faut multiplier successivement les unités , dixaines , centaines , etc. , du multiplicande , par le multiplicateur, et écrire ces différents produits partiels au rang qui leur convient, en observant, à chaque multiplication partielle, de retenir les dixaines pour les joindre avec les dixaines , les centaines pour les joindre avec les centaines , etc

Soit, pour second exemple, a multiplier 47008 par g

On dit d’abord : 9 fois 8 font 72; on écrit 2 au 4 qoo 8 rang des unités.; et l’on retient 7. 9

Ensuite , 9 fois o donnent o ; mais comme, dans 4 2 ^° 7 2 la première opération, on a retenu 7 dixaines, il faut les écrire au rang des dixaines.

9 fois o font o; on écrit o au rang des centaines, puisqu’il n’y en a pas, et qu’il faut cependant en conserver la place.

Ensuite , 9 fois 7 font 63 ; on pose 3 et l’on retient 6. •

Enfin, g fois 4 font 36 , et 6 de retenue font , que l’on écrit à gauche du chiffre précédent.

Ainsi , le produit demandé est 423072.

20 . Avant de passer au cas où le multiplicateur est composé de deux ou deplusieurs chiffres, nous indiquerons le moyende rendre un nombre 10, 100, tooo. .’ . . fois plus grand, ou de le multiplier par 10, 100, 1000.. . .

11 résulte évidemment du principe fondamental de la numération (n° 3 ), que, si l’on place un o à la droite d’un nombre déjà écrit , chacun des chiffres significatifs de ce nombre, reçu lant d’un rang vers la gauche, exprime alors des unités 10 fois plus grandes qu’auparavant. De même , en plaçant deux o à sa droite, on le rend 100 fois plus grand, puisque chaque chiffre significatif exprime des unités 100 fois plus fortes ; et ainsi de suite.

DE LA MULTIPLICATION

Donc , pour multiplier un nombre entier quelconque par i o , 100, 1000, etc. , il suffit d’écrire à sa droite i, a, 3 ,... zéros.

Ainsi , les produits de 43 g par io , ioo, iooo , ioooo , etc. , sont 4390, 43900 , 439000, 4390000. . . .

21 . Considérons actuellement le cas ou le multiplicande et le multiplicateur sont composés de plusieurs chiffres.

On propose de multiplier 87468

par 6847

On commence par disposer le multiplicateur au-dessous du multiplicande, de manière que les unités d’un même ordre soient dans une même colonne ; et l’on souligne le tout. Cela posé, on observe que multiplier 87468 par 5847 , revient à prendre le multiplicande 7 fois, plus f\o fois, plus 800 fois, plus 5 ooo fois , et à réunir les produits partiels.

On peut d’abord trouver, d’après la règle du n° 19 , le produit de 87468 par 7 ; ce qui donne 612276.

Mais comment obtenir celui de 87468 paf 4 o? .

Concevons, pour un instant, qu’on ait écrit les uns au-dessous des autres, 4 ° nombres égaux A 87468; en faisant Y addition de tous ces nombres, on aura le produit demandé. Or, il est évident que ces 4 ® nombres forment 10 groupes de 4 nombres égaux chacun A 87468; mais 4 nombres égaux à 87468 font en somme 4 fois 87468, produit que l’on peut fotinerpar la règle du n° 19 , et qui est égal à 349872. En inullipliantce produit par 10, ce qui revient (n° 20) à placer un o à sa droite, 011 obtient 3498720 pour le produit de 87468 par 4°-

On voit donc que celte seconde opération revient à multiplier le multiplicande par le chiffre 4 considéré comme expri-

UE LA MULTIPLICATION

niant des unités simples , à écrire un o à la droite du'produit, et à placer, comine on le voit ci-dessus , le résultat 3498720 ainsi obtenu, au-dessous du premier produit partiel.

Pareillement, pour effectuer la multiplication de 87488 par 800, il suffit de multiplier 87488 par 8, ce qui donne 899744» puis d’écrire deux o à la droite de ce produit; et l’on a pour troisième produit partiel 69974400, nombre qu’on place au-dessous des deux produits précédents. En effet, 800 nombres égaux à 87468 et placés les uns sous les autres, forment évidemment 100 groupes de 8 nombres égaux à 87468, ou bien 100 nombres égaux au produit de 87468 par 8, c’està-dire 69974400.

On prouverait par un raisonnement semblable, que pour multiplier le nombre 87468 par 5 ooo,il suffit de le multiplier par 5 , de placer trois o à la droite du produit, et d’écrire le résultat 437340000 ainsi obtenu , au-dessous des trois premiers produits.

Effectuant maintenant l’addition de ces quatre produits partiels, on trouve enfin pour le produit total , 5 i 142.5396.

N: B. — Dans la pratique, on se dispense ordinairement de placer les zéros à la droite des produits partiels par les chiffres des dixaines, centaines, mille, etc. ; mais on écrit chaque produit partiel au-dessous du produit précédent, en le reculant d’un iaqg vers la gauche par rapport à ce produit, c’està-dire en faisant occuper au premier chiffre à droite le même rang que celui qu’occupe le chiffre par lequel on multiplie.

Règle générale. — Pour multiplier un nombre de plusieurs chiffres par un nombre de plusieurs chiffres, multipliez d’abord tout le multiplicande par le chiffre des unités du multiplicateur (d’après la règledu n° 19 ); multipliez de même tout le multiplicande successivement par le chiffre des dixaines, par celui des centaines , etc., considérés comme des unités simples , et écrivez les produits partiels les uns au-dessous des autres de maniéré que chacun soit reculé d’un rang vers la gauche par rapport au précédent ; puis additionnez ces produits ; vous aurez le produit total demandé.

OE I.A MULTIPLICATION

‘22. Souvent quelques-uns des chiffres du multiplicateur sont des zéros; et alors il faut apporter quelques modifications dans la disposition des produits partiels.

Soit a multiplier . 870497

par. ... 500407

On multiplie d’abord tout k: multiplicande par 7 ; ce qui donne pour produit, 6093479.

Maintenant, comme il n’y a pas de dixaincs au multiplicateur, on passe à la multiplication pai‘4, chiffre des centaines du multiplicateur, ce qui donne le produit 3481988 ; et comme il faut lui faire exprimer des ce niai ne s , on le place sous le premier produit, en le reculant de deux rangs vers la gauche.

Pareillement, comme il n’y a dans le multiplicateur ni mille, ni dixaincs de mille, on passe à la multiplication par 5 , chiffre des centaines de mille; et l’on écrit le produit 4352485 sous le précédent, en le reculant de trois rangs vers la gauche par rapport A celui-ci.

En général , lorsqu’il se trouve un ou plusieurs zéros entre deux chiffres significatifs du multiplicateur, on recule le produit correspondant au chiffre significatif qui est à gauche de ces zéros , d’autant de rangs plus un vers la gauche , par rapport au produit précédent , qu'il y a de zéros intermédiaires . Au reste, pour éviter toute erreur à ce sujet, on peut s’assurer à chaque opération , si le premier chiffre à droite du produit partiel est dans la colonne des unités de meme ordre que celui du chiffre par lequel on multiplie.

23 . Si l'un des deux facteurs de la multiplication, ou tous les deux , sont terminés par des zéros, 011 abrège L’opération en multipliant comine si ces zéros n'y étaient pas; mais on les place ensuite à la droitc.du produit.

DE LA MULTIPLICATION