OTE

Ensuite, comme on lue demande trois chiffre» décimaux au quotient, j’écris trois nouveaux zéros à la droite dn dividende, c’eal-4-dirc que je divise ia345®9° 0000 P 31, , et je clicrche le quotient 4 moins d’une unité

pris. Je trouve 45i34> mais comme, en écrivant trois nonveaux zéros 4 la droite du dividende, je l’ai rendu tooo fois trop grand , il faut, pourra* mener le quotient 4 sa juste valeur, que je sépare J chiffres décimaux sur la droite; et j’obtieus enfin j 5 , t a j pour le quotient demandé.

JV. B. — Dans cet exemple, la limite (en plus ou en moins) de l'erreur commise sur le chiffre barré du quotient, est J : a, ou j-, d'après ce qui a été dit au n» 9; ce qui prouve que la vraie valeur du chiffre barré est supérieure à 5. Donc 45,ia5 exprime le quotient 4 un demi-millième près.

On peut, du reste , appliquer 4 la recherche d’un quotient 4 une demi-unité près, d’un certain ordre décimal , la règle qui a été prescrite au n° B pour la multiplication :

Cherchez un chiffre décimal de plus que ne l’indiquait d’abord l’énoncé; et suivant qne l’avant-dernier chiffrescra moindre que 5, égal ou supérieur 4 5, vous prendre* la parlicè gauche telle qu’elle sera, ou cette même partie augmentée d’une unité pour le résultat demandé.

Second exemple. — On veut avoir, h moins île o,oooi près , le quotient de îug, 47035G8 divisé par 7, 35q4 ■

86883 3 1 1 [8o5îs

Comme il iutulrail, en vertu (le cc qui a été (lit plus haut, écrire d’abord trois zéros h la droite du diviseur, puis quatre U la droite du dividende, tout se réduit à en poser un seul h la droite decehii-ci, en supprimant la virgule de part et d’autre, c’est-h-dirc ?» diviser 22947035680 par 735ç)4*

On trouve ainsi pour premier résultat, 3t 1806. Donc 3 r, 1806 est le quotient demande.

Méthode abrégée pour l'extraction de la racine carrée .

12 . 'J l'on tes les fois qu’on a obtenu plus do la moitié du nombre des chiffres que doit renfermer une racine carrée, on peut, au moyen d’une simple division , trouver tous les antres chiffres.

Désignons en effet par N le nombre dont on demamle la racine carrée; et supposons que cette racine doive renfermer (vn -f- 1) chiffres. Appelons a la

SU H LES Ai»t»KOXIMAHONS NUMÉIUQUES. j jgi

valeur relative «le la pailic représentée par lis(/i-f*i) premier» chiffre» à gauche tic celle racine, et b la partie exprimée par le» n chiffres suivants, partie qu’il s'agit de déterminer.

On a l'égalité N sss {a -f- b) B = n» -f- xab + b % \

«l'oti, retranchant n y des deux membres, N — a % = la b -f- &*, ou . divisant par ia ,

2a au

Cela pose, puisque, par hypothèse, b ne renferme que n chiffres, on a nécessairement b < io“, et par conséquent b* io a *.

D’on autre côté, le nombre exprime par a se composant de (2/2 -f- 1) chiffres dont les n derniers h droite sont des zéros, il en résulte

a, et à plus forte raison , 2a io* n .

Donc — est une fraction proprement dite ; ainsi, d’après la dernière éga- .... . . . N — a*

ble ri-dc*sus , le quotient exprime par — — — , est en excès sort», d unequan*

litc moindre que l'unité. On est ainsi conduit à la règle suivante :

Après avoir obtenu plus de la moitié du nombre des chiffres de la racine carrée, il suffit , pour obtenir les autres chiffres, de diviser le reste N — a» uuquel on est parvenu , par le double de la racine déjà trouvée , considérée avec sa valeur relative.

Soit , pour premier exemple, J* extraire la tacine carrée de 4735678956 a moins d’une unité près ?

Cherchons d'abord les trois premiers chiffres d'après le procédé ordinaire. ( y oyez, le n°j! 79 .)

Ii 36.8

Il vient pour cette pieniiètc partie de la racine, 688, 1*38966 (ju’il faut maintenant, en verto de la règle cipat le double de 688 coniidc'rè avec sa valeur relative,

l.a partie entière du quotient étant 16, on en conclut que 6881 S est la racine demandée, à moins d'une unité près.

NOTE

3ga

En effet, ci l’on «lève 68816 au carré, ou obtient le produit jj' 35 ü 4 tH 5 b, qui , retranche du nombre propose' , donne nn reste , 37100, moindre que le ilonble de 68816 augmenté d’une unité. ( P oyez n° 177 . )

[Comme ce reste est pins petit que la racine obtenue, 6S816, on petit même affirmer ( Note, n* 1 ) qu’elle est exacte à moins d’une demi-unité près.

Le reste 37100 peut être obtenu plus promptement que par l’élévation de C8816 au carré. En effet, comme, en retranchant le carré de 688 du nombre proposé, on a obtenu le reste aa 38956 , il suffit de faire te double produit de 688 suiaide deux zéros, par 16, puis le carré de 16, et de retrancher la somme de ces deux parties , de aa 38 ;) 56 .

13 . Supposons actuellement qu’on veuille évaluer en décimales la fraction qui doit être ajoutée à 68816; il faut, conformement à ce qui a été dit n° 183 , écrire h la suite du reste 37100, deux fois autant de zéros que l’on veut avoir de chiffres décimaux, et continuer l’opération comme à l’ordinaire. Mais c’est ici que la méthode abrégée peut recevoir une gronde extension.

En effet, pour obtenir quatre chiffres décimaux (puisque la racine obtenue a déjà cinq chiffres), il suffit de diviser 37100 suivi de huit zéros par le double de 68816 , ou i3763a, suivi de quatre zéros, ou ce qui revient au même, 371000000 par 137632; et de plus, comme on cherche ce quotient à une unité près, la règle delà division abrégée est applicable.

37100 0000 tÿrjfÏTfZ

On obtient ainsi pour quotient 1695. Ainsi, 68816, a 6<)5 exprime la racinc carrée du nombre proposé , à moins de 0,0001 près.

Une nouvelle division donnerait huit chiffres décimaux de plus; mais il faudrait d’abord obtenir la différence qui existe entre le nombre proposé, suivi de huit zéros, et le carré de 688162695. Or, comme on a déjà trouvé 37100 pour le reste précédent, il suffirait de faire le double produit de 688160000 par 2695, puis le carré de 2695, et de retrancher la somme de ces deux parties , de 37100 suivi de huit zéros ; ce qui serait beaucoup pins simple que si l’on clevait 688162595 au carré.

Cette soustraction est d’ailleurs indispensable pour la vérification des

calculs : car on a va plus haut i° que — donne un quotient par

excès; 2« que l’emploi -du procédé abiégé de la division peut donner aussi (Note , n* 9 ) un quotient par excès. Ainsi, pour cette double raison, il est possible qov

le dernier chiffre tiouvé h lu racine soit trop fort d’une ou de deux unité* , ce qu’on reconnaît l’ira possibilité de faire la soustraction. On sait d’ailleurs comment , le dernier chiffre étant reconnu trop fort, on peut le rame* ner h sa juste valeur.

14 . Noos présenterons ponr second exemple le tableau des calculs relatifs h {'évaluation de ^2 en décimales.

I* application du procédé ordinaire.

'J* . . .. Détermination des deux chiffres suivants par la division.

La racine, moins de o 0001 pré* , est 1,414’- 3*. . . .. Détermination du nouveau reste.

Produit de 28200 par 4 2 carré de 4*

somme à retrancher de

différence. . .

4* Détermination des qc4T*E chiffres suivants par ta division

ebritfia.

3836 o 000 j a£ z $ 4 10076 I i 356 z i 5 gi *77 o

La ruina, à moins de 0,00000001 ptès,«»l i, 4 > 4 >* 35 f>.

= ll844o° = * 7 6 4 = I 186164

3 t )4 NOTE

5* Détermination du nouveau reste.

Produit de 282840000 par i 356 = 38353 1040000 carré de i 356 =. 1838736

somme.... = 383532878736 à retrancher de 3836 oooooooo

différence ... = 67121 264

<>• Détermination des boit chiffres suivants par la division abtê-

çee. (On u supprime sept zéros .au dividende , comme mutiles.)

105527216 I 2373095 OJ 20674403 •

La racine , à moins de 0,0000000000000001 près , cm

1 , 4 « 4 21 3562373 og 5 o.

Pour obtenir les 16 chiffres suivants , il faudrait d’abord calculer Je nouveau teste d’après la méthode indiquée plus haut , pour diviser le reste suivi d’un nombre convenable de zéros par le double de la partie déjà trouvée h la racine. Et ainsi de soi te.

Toutefois, dans cette opération et dans celles qui viendraient après, il conviendrait de ne pas tenir compte du dernier ou des deux derniers chiffres à droite, en vertu de ce qui a été dit au n° 9 de la Note.

15 . La règle abrégée de l’extraction de la racine carrée peut être étendue au cas de la racine cubique.

En effet, la formule N r= (a 4 - £) 3 ;= n* -h 3 a»& -J- 3ab' -+• b 1 y

donne : . . N — = 3 a'b -f* 3 ab* -f- b * ,

ou , en divisant les deux membres par 3 n*,

N— fl» # b* b*

Or, eu supposant que la racine cubiqnc de N doive renfermer {un -4- 1) rhiffres , et que a désigne la valeur relative des ( « -4- 1 ) premiers chiffres à

droite de celte racine, b celle dca/i derniers , on a nécessairement b < io", et par conséquent b • < io**, b 1 < io s *.

D'un autre côté, l'on a «> 10 »", d’où a * , et h plus forte raison, 3/i* > lot".

On voit donc, 1 ". que — est une fraction : a°. que — est nne autre fraca * 3a’

lion moindre que et dont la valeur ne peut avoir qu’une très faible influence sur la partie entière du quotient de la division de N — a 1 par 3<i*.

D'où résulte cette règle : quand on a trouve plus de la moitié du nombre des chiffre* d’une racine cubique, il suffit, ponr obtenir les chiffres suivants, de diviser la différence entre le nombre proposé et le cube de la racine déjà obtenue , prise avec sa valeur relative , par le triple carré de cette même racine. Mais nous n’insisterons pas sur les applications de cette rtale qui n’est guère d’usage.