DEUXIÈME PARTIE

16 Jusqu’ici, nous avons suppose que les nombres donnes «fiaient exacts, et que le résultat cherche' devait être obtenu avec un degré d’approximation déterminé d’avance, condition qu’il est toujoars possible de remplir. Actuellement, nous allons supposer qui* les nombres donnés ne soient eux-mêmes qu’approximatifs; et dans cette hypothèse, il s’agit de déterminer à priori le maximum du degré d’approximation qu'on peut obtenir pour le résultat des opérations à effectuer.

La résolution de cette question, telle que nous venons «le la poser, est indispensable dans beaucoup de cas, par exemple lorsqu’on a A opérer snr des logarithme», ces sortes de nombres n’étant exuct*, comme nous l’avons expliqué dans leur théorie , que jusqu’à un certain ordre décimal déterminé.

Commençons par V addition cl la soustraction.

Poui fixer les idées , supposons que, dans une opération analogue à celle de la |>age 36i , i me exemple, on ait été conduit à ajouter entre eux a5 logarithmes ou compléments de logarithmes (n* 268 , et que le résultat de celte opération ait donné 6,«j4iti8 v logarithme auquel il s’agit maintenant de chercher le nombre correspondant

Or, chacun des x5 logarithmes ajoutés, étant ou pouvant être en erreur d’une quantité qui est susc«?ptible de s'élever jusqu’à nne demiunité dn dernier ordre, il s’ensuit qu’on peut uvoir à craindre sur la somme totale, une erieur susceptible de s’élever jusqu’à ta ou t.3 unius du dernier ordre. Ainsi, non-seulement on ne doit avoir aucun égard à la différence qui existe entre le logarithme ci-dessus et le logarithme immédiatement inférieur de la table (et celle conséquence anrait encore lieu quand bien même la différence tabulaire serait plus grande que 10 , voyez le JV. B. dn n # 266, page 358); mais en outre, comme on n’a aucun moyen de décider quel est le véritable chiffre des unité» du 4 ane ordre

3cj6 note

du nombre cherche, on doit se contenter de dire que ce nombre est 8760000 h une dixaine de mille près.

L’exemple précédent suffit pour montrer ce qn’il y aurait à faire dan* tou» les cas semblables; et nous n’insisterons pas davantage sur ce point.

17 . Avant de passer aux autres opérations de l’arithmétique, nous ferons connaître sur la multiplication on nouveau principe dont nous aurons occasion de faire usage.

Soient, en général, deux nombres entiers a et b composés l’on de m chiffres, l’autre de n chiffres; appelons P leur produit, et proposonsnous de déterminer le nombre des chiffres de ce produit.

D’abord, puisqu’on a a < 10"» mais > io"*~*

et b < 10* mais > 10"“',

il # cn résulte ( n® üfi) P , ou ab < io""*”" mais > io»+"-« •

ce qui fait voir déjà que le nombre des chiffres du produit P est au pins égal à m -f- n, et au moins égal à m -h n — 1.

11 s’agit maintenant de savoir dans quel cas on anra m •+• n chiffres, et dans quel cas on en aura m-f-A — 1.

Pour y parvenir, considérons P comme un dividende , et a comme un diviseur; le nombre b qui, par hypothèse, renferme n chiffres, sera le quotient. Or, dans la division de P par a , il peut arriver denx cas: ou les m preraicis chiffres à gauche du produit P forment nn nombre au moins égal à a ; on bien, ils forment un nombre plus petit que <1.

Dans le premier cas, comme le premier dividende partiel contient m chiffres, et que chaque nouveau chiffre abaissé au dividende doit donner un nouveau chiffre du quotient qui est composé de n chiffres, il faut nécessairement que le nombre des chiffres dn dividende P soit m -f- n — 1. (P^oir la note an bas de la p. 53 .)

Dans le second, il sera m -b 1 -b n — 1 , on m + n.

Remarquons d’ailleurs que- ce qui vient d’étre dit sur n, considéré comme diviseur, aurait également lien si l'on prenait b pour diviseur.

Concluons de là que , dans tonte multiplication de deux facteurs, l’un de m chiffres, l’autre de n chiffies , le nombre total des chiffres du pro~ duil est m + n — l,oum -f- n, suivant que l’un quelconque des facteurs est ou n'est pas contenu dans la partie h gauche du produit t prise avec autant de chiffres qu’il y en a dans le facteur que l’on compare au produit .

18 . Cela posé, passons à la multiplication ; et pour simplifier la question, considérons d'abord le cas oh l’on aurait à multiplier l’uu par l'antre deux nombres exprimant des unités entières: il sera facile ensuite d’en déduire le cas de deux fractions décimales , puisque lcnr multiplication se ramène à celle de deux nombres entiers par une simple transposition de la virgnle.

Prenons, pour plus de généralité, deux nombres entiers composés, l'un de m chiffres l’antre de n chiffres (m étant > fi), et tons les denx

fautif* d’une demi-unité du premier ordre (en plus ou en moins ) (*). Il est clair , d’après les règles ordinaires de la multiplication (**), que le produit total peut être en erreur:

t® De la moitié' de tout le multiplicande ; et celte erreur est généralement exprimée par un nombre m de chiffres; — i° de la moitié de tout le multiplicateur; et cette erreur est Représentée par un nombre n de

chiffres; — 3 ° du produit “ x * » ou ( Les deux dernières erreurs peuvent être négligées relativement h la première, d’après l’hypothèse m> n).

D’où l’on peut conclure que les m derniers chiffres à droite du produit sont on peuvent être fautifs.

Ainsi, dans toute multiplication de deux nombres entiers dont le dernier chiffre h droite est en erreur d'une demi-unité , le produit peut avoir autant de chiffres fautifs a droite , que le nombre le plus grand contient de chiffres . ,

L’erreur commise est moindre que * — si l’on a m )> n ; mais la limite de celte erreur est 10» quand on a m = n.

10 . Lorsque, des deux factenrs donnés, l'un est exact et l’autre est fautif d'une demi-unité du premier ordre, le nombre des chiffres Jaulifs du produit est égal au nombre des chiffres du facteur exact , puisque l’erreur commise est, en général, estimée par la moitié de ce facteur.

Faisons quelques applications; et soient, pour premier exemple , les «leux nombres 875641 1 9 cl 64327.

L’erreur commise dans cotte multiplication peut être évaluée de la manière suivante :

(*) Pour déterminer les chiffres du produit sur lesquels il ne peut y avoir d'incertitude, on pourrait multiplier les nombres proposés, après les avoir alternativement augmentes et diminués d'une demi-unité de l'ordre du dernier chiffre a droite , et prendre ensuite les chiffres communs aux deux résultats. Mais cette manière d’opérer serait henticotrp trop longue, et l’on arrive aussi sûrement au même bnt par une méthode plus simple que nous allons exposer.

(**) En appelant a et b les deux nombres donnés, :±: e, ifc/’les deux erreurs commises, on a (n® H2)

(a rt «) (b rt f) as ab d: af dz be -±. ef.

NOTE

nombre compose île /luit chiffres. Ainsi, dans le produit total, les chiffres qui suivent les centaines île millions doivent être négligés comme étant généralement fautifs ; et la partie h gauche exprime alors le produit, à moins d’une demi-centaine de millions près.

On doit donc, dans cet exemple, se dispenser de faire la multiplication en entier , et se borner & évaluer (Note, n° 7) le produit h une miité près de l’ordre des centaines de millions.

Le résultat 563i7, considéré comme représentant des millions , exprime la valeur du produit cherché , à moins d’uue demi-centaine de millions près , ainsi qu’on peut s’en assurer en effectuant la multiplication en entier.

Soit, pour second exemple, îi multiplier 3 i,47o 5G3 par 8,70345, chacun de cet nombres étant fautif de moins d'une demi-unité de l’ordre du dernier chiffre décimal.

On devrait d'abord (n° 89 ) faire abstraction de la virgnle , puis, après avoir effectué la multiplication, séparer onze chiffres décimaux vers la droite. Mais, en vertu de ce qui a été dit (Note, n* 18), on doit considérer comme fautifs les huit derniers chiffres du produit; ainsi, le résultat ne saurait être exact qu’l moins de un demi-millième prés. La question est donc ramenée k évaluer le produit des denx fractions décimales h un millième près.

* sua LES APPROXIMATIONS NUMERIQUES. 3()9

Le ffrodoit est i9f,0n6 ?» ni demi-millième près.

Soit, pour troisième exemple , à multiplier

0 , 000 io83 par o,offf}36.

IVaborii , le produit doit (n° 89) renfermer 7 -4-5, on ta chiffres décimanx; mais comme, en vertn du numéro précédent , les quatre derniers chiffres dér imamt sont inexacts, il s’ensuit qoe ce produit pourra être calculé arec huit chiffres décimaux; et le dernier chiffre 5 droite ne sera en erreur que d'une demi-unité , ou tout au plus que d'une unité de l’ordre de ce chiffre.

On obtient ainsi par la méthode abrégée ( Non», n* 5) , o,onoeo63a ponr la valeur du produit demandé.

20. Remarque. — Le principe établi ( Note, n # 17) sur le nombre total •les chiffres d’un produit, donne lieu à un nouvel énoncé de la règle relative .H la multiplication de deux nombres approximatifs.

Puisque , dm» un produit de deux facteurs, l’un de m chiffes, l’au tre de n chiffres, le nombre total des chiffres est m -f" n — 1 , ou m -f n 9 ci que, dans l’hypothèse oh le dernier chiffre de chaque facteur n’est qu’approximatif, le nombre des chiffres du produit qui doivent éltc exclus, comme étant généralement fautifs, est ( Note, n° 18) exprimé par m (m étant au moins égal h n\ il s’ensuit nécessairement que le nombre des chiffres du produit sur lesquels on peut compter , est (n~i)oun suivant que l'un quelconque des facteurs est ou n'est p<n contenu dans la fmrtie à gauche du produit , prise avec autant de chiffres qu'il y en a dans le facteur que l’on compare au produit.

Lorsque, des <lcux fartcuis donnés, celni de m chiffres est exact, et que l’antre est fantif il’une demi-unité «le l'ordre du dernier chiffre h droits, le nombre des chiffres du produit sur lesquels on peut compter est encore (n — 1 ) ou n , puisque celui des chiffres fautifs est ( Note, n* 17) représenté par m.

Ce nouvel énoncé ne peut, en général , servir à priori ponr la multiplication ; car, avant fie prononcer si le nombie des chiffres dont on doit tenir compte dans le produit, est ( n — 1 ) on / 1 , il faut connaître les premiers chiffres à gauche de ce produit. Mais on conçoit qu’il nous sera d’un très grand secours dans la division où le produit est donné à priori ainsi que l’un des facteurs.

21. Dans la division des nombres approximatifs, on peut faire trois hypothèses : On le dividende seul est approximatif 9 le divisenr étant exact; ou le diviseur seul est approximatif 9 le dividende étant exact, ou bien enfin, le dividende et le diviseur sont tous tes deux approximatifs.

Première hypothèse. — Considérons d’abord deux nombres entiers dont le premier seul (le dividende) soit supposé en erreur d'une demi-umte de

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l’ordre des unité» simples; et concevons que le quotient de leur division ait été développé en an nombre indéfini de chiffres décimaux, d'après le procédé connu.

Appelons m le nombre des chiffres du diviseur, n le nombre des chiffres du quotient (a partir dn premier chiffre significatif À gauche) sur l’exactitude desquels on peut compter, en raison de l’erreur qui se trouve au dividende, et p le nombre total des chiffres du dividende qui ont été employés b la détermination des n chiffres du quotient. Ce nombre p peut être décomposé en deux parties p', p", dont la première à gauche est le nombre des chiffres du dividende primitif, et la seconde, celui des zéros qu’on a été obligé d’écrire b la droite de ce dividende primitif; en sorte que l’on a

Cela posé, si, dn dividende dont le nombre des chiffres est p, l’on retranche le reste correspondant au n ,m ‘ chiffre dn quotient (lequel reste ne peut avoir que m chiffres au plus), la différence, composée également de p chiffres, est égale au produit des m chiffres du diviseur par les n chiffres du quotient; et l’on a, en vertn dn principe établi (Note, n 9 17),

p' -+■ p' m -4- n — i , ou p' + p" = m ■+. n ,

suivant que les m chiffres du diviseur sont ou ne sont pas contenus dans les m premiers chiffres b gauche du dividende.

Or, puisque le diviseur est supposé un facteur exact, il s’ensuit (a* 17) que le nombre total des chiffres fautifs dn produit du diviseur par le quotient, est exprimé par m. D’ailleurs, il estaossi représenté par p“ + i, puisque, par hypothèse, le dentier chiffre du dividende primitif est inexact, et que les chiffres suivants, en nombre p", sont eux - mêmes inexacts. On a donc m = p" ■+■ t ; ce qui donne par la snbstitntion d« ccttc valeur de m dans les deux relations précédentes,

p' = t + n — t — n, d'où n = p', ou bien p' — t 4- n, d’où n — p — r.

Conclnons de 1b qne le nombre des chiffres du quotient sur lesquels on peut compter, est égal au nombre des chiffres du dividende proposé, ou à ce nombre notas on , suivant que le diviseur est nu n'est pas contenu dans les m premiers chiffres du dividende (b partir du premier chiffre significatif b gauche).