AA A
On a évidemment q ou — < , mais > j d'où , en désignant
par m i'errenr commise quand on prend soit — , soit — pour la va-
leur de q ,
expression que Pon peut mettre sous la forme A
ou
Ce résultat démontre que l’erreur n’influera pas d’une unité sur le dernier chiffre du quotient, tant que Pon aura </<a. Or, pour que cela soit, il faut premièrement que le quotient cherché ne renferme pas plus de m chiffres } en second lieu, le plus grand nombre de chiffres que l’on puisse placer au quotient de manière h satisfaire à cette condition sera m ou (m — 1), suivant que les m premiers chiffres de ce quotient formeront un nombre plus petit ou plus grand que les m chiffres du diviseur.
Concluons de Ih généralement que, toutes les fois que le diviseur est approximatif, le dividende étant exact, le nombre des chiffres du quotient sur lesquels on peut compter , est égal au nombre des chiffres dit diviseur , ou à ce nombre Moins un , suivant que tes ni chiffres obtenus an quotient forment un nombre plus petit ou plus grand que le diviseur.
Appliquons cette tègle h qoelqucs exemples. Soit, pour premier exempte, h diviser 547 par 8769.
Comme le premier chiffre h gauche do quotient doit être un G, il s’ensuit
nécessairement que le» quatre premiers formeront un nombre moindre que le diviseur. Ainsi, d'apre» la règle precedente, on peut calculer le quotient avec quatre chiiTies. D’ailleurs , la réduction de cc quotient en décimales ne donne ni unîtes simples , ni dixièmes ; donc il peut être évalue avec cinq chiffres décimaux, et l’on obtient 0,06137 pour le quotient, k no cent-millième près.
Soit, pour deuxième exemple, 5 {7 & diviser par Ici, le premier chiffre
à gauche du quotient doit être un 3 , ce qui prouve que les quatre premier» chiffre» du quotient formeraient un nombre supérieur au diviseur ; donc , d'après la règle précédente, on ne doit tenir compte que de trois chiffres. D'ailleurs, la partie entière de cc qnotieni réduit en décimales est un o. Ainsi l'on peut obtenir sa valeur à moins de 0,001 près; et l'on trouve o ,353 pour le résultat demandé.
Considérons actuellement deux fractions décimales; et soit, pour troisième exemple , '-* 3 f 4 ~q h diviser par 534,7896.
Comme le diviseur a sept chiffres, et que le premier chiffre à gauche du quotient sera un 4 » *1 s'ensuit que le quotient peut avoir sept chiffres (’i partir du premier chiffre significatif à gauche) snr lesquels on peut compter. D’un autre cAlé, puisqu'il faut évidemment écrire trois zéros pour commencer la division , ce qui prouve que le chiffre des unités et celui des dixièmes sont des zéros, il en résulte nécessairement que le quotient aura huit chiffres décimaux. Ainsi, dans cet exemple, on pourra se proposer d'évaluer le quotient ?i moins rie 0,00000001 près.
En effet, si, en conservant le même dividende '.* 3 , 479 , on P rcn d successivement pour diviseurs les nombres
et qu’on applique la méthode abrège e ( note , u° 8), ou trouvera pour résultats 1 espertifs
ce qui prouve qne 0,0 j. 3 go 3 a 5 est la valeur du quotient h moins d’un demi ccnt~millionièmc près.
24 . Troisième et dernière hypothèse. Enfin, si le dividende rtlcdivitcur sont fautifs dans leur dernier chiffre à droite, le nombre des chiffres du quotient sur lesquels il est permis de compter , est égal au plus petit des deux nombres que fournissent les règles relatives aux deux premières hypothèses .
Proposons-nous , pour premier exemple , de diviser 356,3749 p ar 2 » 4 > 9 ^*
La tègle du n® 21 donnerait sept chiffres; mais celle du n* 23 eu donne six ( puisque le premier chiffre h gauche du quotient est t); donc le nombre des chiffres dg quotient sur lesquels il est permis de compter est su r. D’un autre cAlé, la partie entière du quotient doit renfermer trois chiffres ; ainsi l'on ne peut évaluer ce quotient qu'à moins d’un millième près.
La division étant effectuée, on obtient pour résultat 143,7*6.
NOTE
Soit , pour second exemple i diviser le logarithme de 1 5 par le lotîtlithme de 7.
On trouve dans les tables de logarithmes
log i5 =1, 17(109 et log 7 = o,845io.
(Ces deux logarithmes sont exacts h moins d’onc demi-unite' [très de l’ordre du 5 e chiffre décimal. )
Or, l’application de chacune des deux règles b cet exemple, donne egalement cinq pour le nombre des chiffrés du quotient sur lesquels ou pent compter. D’ailleurs, la partie entière doit évidemment avoir un seul chiffre significatif ; donc ce quotient peut être obtenu à moins d’un dix-millième près, et l’on trouve
log i5 1 1 7609
iog 7 — 845lO
t,3gi6.
IV. B. Cette dernière question sert de base, en Algèbre, h la résolution des équa lions exponentielles. {Voyez d’aillenrs le n" 277 de V Arithmétique.)
28- Il nous reste encore h traiter de ['extraction de la racine carrée des nombres approximatifs.
Considérons d’abord on nombre entier quelconque A , dont le dernier chiffre b droite soit en erreur d’une demi-unité ; et concevons que sa racine carrée ait été développée en un nombre indéfini de chiffres décimaux d’après le procédé connu. Appelons n le nombre des chiffres de cette racine sur lesquels on peut compter, et p le nombre total des chiffres du carré employés à la détermination des n chiffres de la racine. Il peut se présenter lieux cas : — Ou le nombre des chiffres de A est impair, on bien il est pair.
Dans le premier cas, comme il résulte de la nature même du procédé de la racine carrée d’un nombre entier, que les n premiers chiffres b gauche, de la racine , forment un nombre moindre qne les n premiers chiffres b gauche, do carré, on a nécessairement (Note, n» 17)
p = an — I = n -f- n — 1 ,
ou , en désignant par p' le nombre des chiffres de A , par p" le nombre des seros écrits b la droite de A pour la détermination des n premiers chiffres de la racine,
Observons maintenant que, dans la multiplication de la racine par ellemême (le dernier chiffre étant supposé fautif d’une demi-unité), le produit renferme (n* 22) n chiffres inexacts. D’un autre côté, le nombre des chiffres inexacts de ce même produit est exprimé par p" -f- 1 , puisque le dernier chiffre de A est inexact, et qu’il en est de même des p* zéros écrits b la droite de A; ainsi l’on an = p“+i; et l’égalité précédente devient
p'-4-p" = p"-p.i-|-n — 1; d’où n = p'.
Dans le second cas, comme les n premiers chiffres à gauche, de la racine.
forment au contraire nn nombre pins grand qne les n premiers chiffics k gaucho , du carre , on a entre p et /i la relation
p = an = n -f-n,
ou, remplaçant comme ci'dc*sus p par p * -bp" t et observant que le nombre des chiffres inexacts du carré «le la racine est également exprimé par n et par p"+ i,
p' -+• p" «=■ p m •+■ i d’on n = p' — 1 .
Donc règle générale : Le nombre des chiffres sur lesquels on peut compter dans le développement de |/ A en décimales , est égal au nombre des chiffres de A, ou h ce nombre mous üif , suivant que A renjerme un nombre impair ou un nombre pair de chiffres 26. N. B. — La règle précédente ne souffre anenne restriction tant que le nombre des c hiffres de A est impair . Mais si ce nombre est pair f elle est susceptible d'une modification (ort importante.
Ponr le reconnaître, augmentons et diminuons alternativement A d’une demi-unile de l’ordre du dernier chiffre à droite; et proposons-nous d'eva.
loer la différence A qui existe entre y/ A -f- ^ et A —
On a , d’après les règles de l’algèbre,
R étant une trii-petite fraction que l’on peut négliger .ia-à-.i» de ■
Ainai la différence A eai réellement représentée par l'expicaaion -
Ceci démontre que, ai l’on réduisait >/ A + £ et — ^ en déci-
males d’après le procédé conno , les denx expressions résultantes auraient une partie commune telle, que l’unité du dernier chiffre consecutif à cette partie
serait moindre que — .
Cela posé, soit d’abord A composé d’un nombre impair déchiffrés exprimé par ap-f- I ; ce qui suppose p-f- i tranches de deux chiffres (dont la première & gauche n’en renferme qu’un). On pourra, après ovoir calculé les p-f-i premiers chiffres <le la racine, d’après le procédé ordinaire, déterminer les p chiffres suivants, soit parce même procédé, soit par la méthode abrégée du
n° 12; et l’erreur commise étant moindre qoe — — - , n’influera nas d une
1 i.io? 1
unité sur le chiffre du rang îp-f i. Ainsi, dans ce cas, on ponrra compter sur ap-f-i chiffre#*.
NOTE
Maintenant , si A renferme an nombre pair tle chiffres ip , on set» sûr de l’exactitude des p chiffres suivants que donne la méthode abrégée si l’on a — /-= mo ‘ n< ^ re q ae ; «• “la a lieu quand le premier
chiffre li gauche de 4/ A est égal on supérieur h 5 . Or cette dernière circonstance se rencontre, ainsi qu'il est aise de le reconnaître, toutes les fois que lu première tranche & gauche, du nombre proposé, est a 5 on supérieure <\ a 5 .
Concluons de l& que , daus le cas où le nombre des chiffres de A est taj* , le nombre des chiffres sur lesquels on peut compter est égal au nombre des chiffres de A, ou à ce nombre woitrs u», suivant que la première tranche a gauche est égale ou supérieure à a 5 , ou bien , est moindre que a 5 . 27 . Premier exemple. — Soit h extraire la racine carrée du nombre 5780b. Comme ce nombre a cinq chiffres , il s’ensuit que sa racine carrée peut être calculée avec cinq chiffres ; et puisque la partie entière doit en renfermer trois , cette racine peut être obtenue a moins d’un centième près. On trouve ainsi pour résultat 340,43.
Deuxième exemple. — On demande la racine carrée du nombre 7385498G. Ce nombre ayant huit chiffres, dont les deux premiers h gauche surpassent a 5 , il s’ensuit (n° 26 } qu’on peut calculer huit chiffres à la racine; et comme la partie entière doit en renfermer quatre, la racine peut être obtenue à moins d'un dix-millième près.
On obtient ainsi 8593,8934 pour la racine demandée.
Considérons actuellement des fractions décimales.
Troisième et quatrième exemple. — Soit h évaluer \/ 8,356479 et
Il faut d’abord, en vertu de ta règle établie u u 186 , faire abstraction 4 e la virgule, puis, après avoir obtenu la racine, diviser chacun des deux résultats par tooo.
Or, dan* la reclierche des racines carrées de 8356479 et de 33567846, l’application de la règle n" 26 de la Note donne sept pour le nombre des chiffres dont il est permis de tenir compte. D'ailleurs, la partie entière de la racine carrée de chacun des uombres proposés ne doit avoir qu’un seul chiffre. Ainsi les racines peuvent être obtenues chacnnc avec six chiffres décimaux. On obtient ainsi |/ 8,356479 = 3,873409,
et 4/3-3,567846 = 4,854673.
Cinquième et sixième exemple . — Soit è évaluer et
On doit d'abord, conformement .Ma règle dn n° I8Q, rendre le nombre des chiffres décimaux pair en plaçant un zéro h la droite de chacun de cet noaibres, puis, après avoir fait abstraction fie In virgule, et cxu»it les racine*
carrée* de* deux nombre* résultants, 6 y 3543 o et 47375960, diviser ce* racines par 1000.
Or, dan* la recherche delà racine de 6735430, comme la première tranche h gauche de ce dernier nombre n'a qu'un seul, chiffre, il faut appliquer la première partie de la règle n* 26 , en ne tenant pus compte toutefois du dernier chiffre à droite, qui est tout-à-fait inexact j et le nombre de chiffres dont il e*t permis de tenir compte à la racine est six. D’ailleurs, la partie entière de la racine carrée du nombre proposé ne doit avoir qu'un seul chiffre. Donc enfin, la racine demandée peut être calculée avec cinq chiffres décimaux; et l'on a
De même , comme dans la recherche de la racine de 47376960 , la première tranche à gauche de ce dernier nombre, est composée de deux chiffres, il faut appliquer la règle du n* 26 , en u'ayaot aucun égard au dernier chiffre à droite, qui csttout-Mait inexact ; et le nombre des chiffres dont il est permis de tenir compte À la racine est sept ( puisque la première tranche à gauche sutpasse a 5 ). D’ailleurs, la partie entière delà racine do nombre proposé ne peut avoir qu'un seul chiffre. Ainsi, cette racine peut être calculée avec six chiffres décimaux ; cl l'on a
1/47,37596 = 6 , 883 oao.
IV. H. — On peut vérifier aisément l'exactitude ries résultats obtenu# dans les exemples précédents, en augmentant et diminuant d'une demi-unité le dernier chiffre de chacun des nombres, puis opérant successivement sur chacun des nouveaux nombres.
28. Remarques.— 1°. De l’analyse des quatre derniers exemples, il résulte une conséquence fort importante, c’est que, toutes les fois que la partie entière d'un nombre fractionnaire décimal, dont on demande la racine carrée, est composée d’u« ou Ae deux chiffres seulement, le nombre total des chiffres décimaux dont il est permis de tenir compte a la racine, est Au moixs égal au nombre des chiffres décimaux que renferme la fraction proposée.'
a°. Quand la partie entière du nombre propose renferme plus de deux chiffres, le nombre des chiffres décimaux dont il est permis de tenir compte h ta racine, surpasse toujours celui des chiffres décimaux que contient le nombre proposé.
Soient n le nombre des tranches de denx chiffres, que renferme la partie* entière du nombre proposé (la dernière tranche h gauche pouvant n’avoir qu'un seul chiffre), et p le nombre des chiffres décimaux contenus dans le nombre proposé. Le nombre total des chiffre * décimaux\dont il est permis de tenir compte, est exprime généralement par n — 1 -+-p.
(Ce nombre est n-bp quand la première tranche h gauche est de deux chiffres et surpaie ? 5 . )
3 °. Lorsqu'au contraire, il s'agit d'une fraction décimale proprement dite, le nombre des chiffres deVimaux dont il est permis de tenir compte h la ra-
NOTE
cine, peut être moindre que le nombre des chiffres décimaux de la frac» tion proposée; et cela a lieu quand les chiffres qni suivent immédiatement la virgule sont desze'ros, ou bien quand , le nombre des chiffres décimaux étant pair , la première tranche à gauche est inférieure & a 5 .
Dans tout autre cas , le nombre des chiffres décimaux est le même que celui du nombre proposé .
29 . C’est sur cette dernière remarque que sont fondes les calcul» relatifs h la de'tcrmination du rapport de la circonférence an diamètre; et pour ne rien laisser à désirer sur la théorie des approximations numériques, nous terminerons cette Note par le développement de la méthode des polygones réguliers isopérimètres. Cette méthode , qni se trouve exposée dans la Géométrie de M. Vincent, résume, en quelque sorte, tous les principes établis dans la note précédente.
Soient R, r, le rayon et l’apothème du carré dont le côté est égal h i; R', r', le rayon et l’apotlièmc de l’octogone régulier isopérimètre avec le carré ; R*, r", le rayon et l’apothème du polygone régulier de seize côtés , isopérimètre avec les deux précédents; ei ainsi de suite.
On a, d’après la méthode précitée, les formules
r' = ?-±- r , R' = \/Rr r .
Cela po«e , puisque i est le côté du carre, ^ \/i el ~ tout le* valeurs de R et de r. Ainsi l’on a
R = -^3 = 0,707106781 (✓»= i, 4 i 4 »' 356 a, Note, n» 14 ),
ce qui donne
R' = t/R/ = V/o ,7 07106781 x o, 6 o 35533 go.
Pour effectuer ce dernier calcul, observons que chacun des deux facteurs sous le radical étant exact à moins d’u/ie demi-unité de l’ordre du dernier chiffreàdroitc.leproduitcorrespondantpcntctre lui-même (Note, n°!8; évalué à moins d’une unité de l’ordre de ce dernier chiffre, d’après la méthode abrégée des n°# 2 et 5 . Ainsi l’on obtient d’abord
Maintenant, puisque le nombre dont il s’agit d’extraire la racine carrée est une fraction décimale dont la première tranche h gauche surpasse ? 5 , il s’ensuit (Note, n° 26 ) qne celle racine peut être obtenue avec neuf chiffres décimaux; et en appliquant la méthode ordinaire pour la détermination des cinq premiers chiffres, puis la méthode abrégée du n° 12 pour les quatre suivants , on trouve
suit LES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. 4°9
Passons à U détermination de K* et de r“. On a
r' = 51 ±jL = ■= 0,60841:436.
et R' = t/RV = V^o,t> 53 ibi 4 Si x 0,608 ji: 4 it> ,
et en opérant «ur cette cxpreasion comme sur celle de R', on trouve
Kl aimi de mite.
Voici d'ailleurs le tableau dea operations poussées jusqu'aux rayons R ”1 et r M ‘. :
Côté du carré égal à 1 .
