OO

Exemple. — Soit a multiplier par

t363ooooo

Après avoir multiplié 47 par 29, d’après le procédé connu, onécrit5 zérosà la droite du premier; etl’onobtient t363ooooo pour le produit demandé.

En effet,. si l’on n’avait d’abord que 47000 à multiplier par 29, il est clair qu’après avoir multiplié 47 par 29 > >1 faudrait faire exprimer au produit, des mille, c’est-à-dire des unités de même espèce que je multiplicande; ainsi l’on devrait déjà écrire trois zéros. Actuellement, multiplier un nombre par 2900, revient (n° 21) à prendre 100 fois le produit par 29; donc, il faut poser deux nouveaux zéros. Le même raisonnement s’appliquerait à tous les cas semblables.

24. Pour peu qu’on réfléchisse sur le procédé de la multiplication, on sent la nécessité de commencer l’opération par la droite, du moins dans les multiplications partielles par chacun des chiffres du multiplicateur, à cause des retenues que l’on fait continuellement en multipliant un chiffre du multiplicande par un chiffre du multiplicateur. Mais rien n’empêcherait d’intervertir l’ordre des multiplications partielles par les différents chiffres du multiplicateur , comme on peut le voir dans l’exemple suivant.

On a commencé ici la multiplication par le chiffre des centaines du multiplicateur, et l’on a placé les unités du produit sous les centaines du multiplicateur; mais dans l’opération suivante, on a eu soin d’avancer le produit d’un rang vers la droite , c’est-à-dire de le placer au-dessous du premier de manière que le dernier chiffre 2 fût au-dessous des dixaiucs des deux facteurs. De même, le troisième produit est avancé d’un rang vers la droite, par

PROPRIÉTÉS IMPORTANTES Ot' LA MULTIPLICATION. 33

rapport au précédent. Mais dans l'usage ordinaire on forme les produits en allant de droite à gauche , parce que cela est plus naturel et plus commode.

De quelques propriétés importantes de la multiplication.

On est souvent conduit, dans les applications, à multiplier successivement plusieurs nombres entre eux.

Soient, par exemple, les cinq nombres prisait hasard

Former le produit de ces nombres dans l’ordre où ils sont écrits, c’est multiplier d’abord 23 par 35 , puis multiplier ce premier produit ( 8 o 5 ) par 72, puis multiplier ce second produit (57960) par 49 » puis multiplier ce troisième produit (2840040) par i 56 , ce qui donne enfin 44^046240 pour le produit demandé.

Or, on pourrait, avec ces cinq facteurs, obtenir le même produit d’un très grand nombre de manières: il suffirait, pour cela, d’intervertir à volonté l’ordre des multiplications successives ; et c’est ce qu’on exprime en disant que le produit de la multiplication de plusieurs nombres entre eux , est toujours le même dans quelque ordre qu’on effectue les multiplications.

28 . Pour nous rendre compte de cette propriété , qui joue un très-grand rôle dans la science des nombres, considérons d’abord le cas de deux facteurs, 4 % et 237 par exemple.

Si l’on conçoit l’unité écrite 4 % 1 , 1 , 1 , t , 1 , . . . ,

fois sur une même ligne horizon- r , 1 , 1 , 1 , 1 , . . . ,

taie , et qu’on forme 237 lignes pa- 1, 1, 1, 1, 1,..,.

reilles , il est clair que la somme des 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , . . . .

unités contenues dans ce tableau

est égale à autant de fois les 4^9

unités d’une ligne horizontale, qu’il y a d’unités dans une colonne verticale, ou dans 237; c’est-à-dire que cette somme est égale au produit de 4^9 par 9.37. Mais on peut dire aussi que cette somme est égale à autant de fois les 237 unités Arith. B. 3