PROPRIÉTÉS IMPORTANTES

d’une colonne verticale, qu’il y a d’unitcs dans une ligné horizontale, ou dans 4%); c’est-à-dire qu’elle est égale au produit de a3 7 par 45<). Donc, le produit de 4% multiplié par 237, est égal au produit de 237 multiplie par45çj.

Ce raisonnement est d’ailleurs applicable à deux autres nombres entiers quelconques; donc , etc. . . . (*).

Pour faire connaître une première application <le ce principe, supposons i|uc la nature d’tmc question ait conduit à multiplier le nombre ^5 parSG^ï. On fera de préférence le produit de àGpr par ^ 5 , parce qu’on n’aura ainsi que deux produits partiels II former, tandis que l’on en aurait quatre en multipliant c 5 par 56 |o.

SiG. Avant de passer à la proposition générale, nous commencerons par déduire du cas particulier déjà démontré, une autre propriété qui peut s’énoncer ainsi : Multiplier un nombre quelconque par un premier facteur} puis le produit résultant par un serond facteur, revient à multiplier le nombre proposé par le second fadeur, puis le produit résultant par le premier facteur; plus généralement, dans toute multiplication de plus de. deux nombres entre eux, on peut intervertir l’ordre des deux derniers fadeurs , sans que le produit soit changé.

Ainsi , par exemple , si l’on multiplie 48 pat i5 et le produit résultant par 24, on doit avoir le même résultat que si l’on multiplie 48 par 24 elle produit résultant par i5.

En efi’et, il résulte d’abord de ce qui a été établi n u 28, que le produit 36o résultant de la multiplication de i5 par 24, s’obtiendrait également en multipliant 2.4 P ar >5 ; et si nous pouvons faire voir que le produit de 48 par 36o est le même que celui qu’on trouverait, soit en multipliant 48 par i5, puis le produit résultant par 24, soit en multipliant 48 par 24,

(*}. On pourrait déduire celle proposition de la labié même de PtthadORE en obtenant la manière dont les nombres y sont disposés fn° lïl) : j| s n ili rai I pour cela de concevoir celle table prolongée au delli d’une limite cenvenablo, 10000 fois 10000 par exemple, si l’on 11c considérait que deux facteurs au-dessous de cette limite ; mais la démonstration ci-dessus nous paraît préférable sons le rapport de la simplicité.

DE LA MULTIPLICATION. 35

puis le produit résultant par i5, la propriété sera démontré!?.

Or, pour former le produit de 48 par 36o, il suffit (n° 17) de poser les uns au-dessous des autres 36o nombres égaux à 48, et de faire l'addition de tous ces nombres. Mais ces 36o nonxbresaiiisi disposés forment évidemment 7.4 groupes de i5 nombres égaux à 48, ou bien i5 groupes de 24 nombres égaux à 48 (*). Ainsi l’on obtiendra la somme de ces 36o nombres, ou en multipliant 48 par 24 et prenant i5 fois le produit résultant, ou en multipliant 48 par i5 et prenant 24 fois le produit résultant; eteesdeux manières d’opérerconduisautévidennnent au même résultat, ou doit conclureque l’ordre des deux multiplications successives par i5 et par 24 peut être interverti.

27. Remarque. — La démonstration précédente donne lieu à une nouvelle proposition qui nous sera également utile par la suite.

On vient île voir que multiplier 48 par 36o , qui est le produit de 24 par i5, revient à multiplier 48 par 24, puis le résultat obtenu par >5. Mais 24 étant lui-même égal au produit de 6 par 4 , on peut dire encore que multiplier 48 par 36o, revient à multiplier d’abord 48 par 6, puis le résultat obtenu par 4 » et le nouveau résultat par t5, ou bien par 5 eL ensuite par 3 ( puisque t5 est égal au produit de 5 par 3). Donc enfin , multiplier un nombre par un produit de deux ou de plusieurs facteurs, revient à multiplier ce nombre successivement par chacun des fadeurs.

28. Passons actuellement à la démonstration de ce principe général, que le produit de plusieurs nombres est toujours le meme, dans quelque ordre qu'on effectue leur multiplication.

Reprenons les cinq facteurs quelconques

11 résulte du principe établi n° 26, que, dans les multipli-

(*} Ce raisonnement est analogue A celui que nous avons Tait n° 21 pour rendre compte d c la multiplication par les dixainc*, centaines, etc., du multiplicateur.

DE LA DIVISION

cations successives , on peut faire passer ie facteur i56 à Ta place du facteur 4 g; mais on pourrait également le fafte passer à la place du facteur 72 , puis à la place du facteur 35, puis enfin à la place du facteur 23. Par la même raison , le facteur 49 que l’on a déjà fait passer à la place de i56, peut passer à la gauche de 72 , puis à la gauche de 35 , et ainsi de suite. On voit , en un mot, que chaque facteur peut occuper toutes les places possibles dans l’ordre des multiplications successives , sans que le produit de tous ces facteurs cesse d’être le même. Donc, etc.

DE LA DJ VISIO V

29. Diviser un nombre par un autre, c’est (n° 9) trouver un troisième nombre , qui, multiplié par le second, reproduise le premier; ou bien (n° 2 S), c’est trouver un troisième nombre tel, que le second multiplié par le troisième, reproduise le premier.

Ainsi la division a pour but : étant donnés un produit de deux fadeurs et l’un de ces facteurs , détenniner l’autre ; cette opération est donc l’inverse de la multiplication.

Comine, dans une multiplication de nombres entiers, le produit se compose d’autant de fois le multiplicande qu’il y a d’unités dans le multiplicateur, on peut encore dire que diviser un nombre entier par un autre, c’est chercher combien de fois le premier nombre, considéré comme produit, contient le second, considéré comme multiplicaude; ce nombre de fois est alors le multiplicateur. Enfin , on a encore vu tn° 9) que diviser un nombre entier par un autre , c’est partager le premier nombre en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le second.

Ces deux derniers points de vue, sous lesquels 011 envisage quelquefois la division , ne conviennent rigoureusement qu’aux nombres entiers , tandis que la première définition convient à tous les nombres possibles, tant entiers que fractionnaires. Toutefois, les dénominations données aux termes d’une division ont été tirées des deux derniers points de vue.

OE LA DIVISION. 3

Ainsi, le premier nombre s’appelle dividende ( nombre à diviser ou à partager) ; le second s’appelle diviseur; et le troisième se uomine quotient, du mot latin quolies, parce qu’il ex prime combien de fois le dividende contient le diviseur.

11 résulte évidemment de ces définitions, que, lorsqu’on aura obtenu le quotient, pour faire la preuve de l’opération, il suffira de multiplier le diviseur par le quotient , ou réciproquement; et, si l'opération est exacte , on devra reproduire le dividende.

Réciproquement, dans la multiplication , le produit peut être considéré comme un dividende , le multiplicande comme le diviseur ou le quotient, et le multiplicateur comme le quotient ou le diviseur; ainsi, l’on fera la preuve de la multiplication en divisant le produit par l’un des facteurs ; et , si l’opération est exacte , on devra reproduire l’autre facteur.

• Ces notions établies, passons à l’exposition du procédé de la division.

30. De meme que la multiplication peut s’exécuter pai V addition de plusieurs nombres égaux entre eux, on pourrait aussi trouver le quotient d’une division par une suite de soustractions.

En effet , qu’il s’agisse, par exemple, de diviser 6 o par 12 1 autant de fois on pourra soustraire 12 de 60 , autant de fois 12 sera contenu dans 60 ; ainsi, le quotient est égal au nombre de soustractions qu’il faudra faire pour epuiser le dividende.

Dans cet exemple , comme ou est 60

obligé de faire 5 soustractions succès- 1 2

sives, il s’ensuit que le quotient 4# I er reste,

est 5. 12

Mais cette manière d’obtenir le quo- 36 2'.

tient serait trop longue dans la pra- 12

tique , surtout si le dividende était très 24 3 e .

grand par rapport au diviseur. Ce qui 12

constitue essentiellement la régie de la 12 lf.

division; c’est un procédé spécial et abré- 1 2

'vint if pour arriver au résulta! cherché. o S*.

pr. r.A Division:

31 . Dés que l’on connaît de mémoire tous les produits de deux nombres d’un seul chiffre, ou la table de Pythagorc (n° 18 ), on peut déterminer aisément le quotient de. la division cT un nombre d’un ou de deux chiffres, par un nombre d'un seul chiffre , pourvu que ce quotient n’ait lui-méme qu’un seul chiffre.

Pa r exemple, 35 divisé par 7 donne pour quotient 5 ; ou bien on dit : en 35 combien de fois 7? Il y est 5 fois (parce qu’on sait que 5 fois 3 donnent 35 ) ; ou bien encore : le 7' de 35 est 5 , parce que 7 fois 5 font 35 .

Soit encore 68 à diviser par 9. Comme 7 fois 9 ou 63 , et 8 fois g ou 72 , comprennent 68 , il s’ensuit que 68 divisé par q donne le quotient 7 pour 63 avec un reste 5 ; c’est ce qu’on exprime en disant : le 9' de 68 est 7 pour 63 , et il reste 5 .

Pareillement, en 47 combien de fois 8 ? Il y est 5 fois; ou le 8 ' de 47 est 5 ; et il reste 7.

O11 verra plus loin ce qu’on doit faire du reste, lorsque le diviseur n’est pas contenu exactement dans le dividende.

52 . Passons au cas où le dividende est composé, de plus de deux chiffres, le diviseur n’ayant encore qu’un seul chiffre.

D’après la liaison intime qui existe entre la multiplication et la division , il est naturel de chercher à déduire le procédé de cette dernière opération, de celui qui a étésuivi pour la multiplication.

Pour cela, reprenons le premier exemple traité n° 19 .

Il résulte de cette multiplication , que le produit 845 g 59213 se compose de 7 fois les unités, 7 fois les 7

dixaines, 7 fois les centaines, 7 fois les mille du 0921 3 nombre 8459 ; ainsi ce produit est la somme des quatre produits partiels qui correspondent aux quatre chiffres du multiplicande. Donc réciproquement, étant donnés le produit 5g2t3 et l’un de ses facteurs, 7, pour retrouver l’autre facteur, il faut tâcher, au moins par la pensée, de décomposer 5g2i3 dans les quatre produits partiels, des mille, des centaines, des dixaines, cl des unités de ce second facteur molli-*

ne !.A BIVIStON.

par le premier ; prenant alors le 7* de (bac un de ces produits, et réunissant les quotients partiels, on obtiendra le quotient total ou le second facteur.

Voici comment ou dispose l’opération :

On écrit le diviseur à la droite du dividende ; on les sépare par un trait vertical; puis on tire une barre horizontale audessous du diviseur.

Cela posé , on prend à la gauche du dividende les deux premiers chiffres formant 5 g mille, qu’on regarde comme le premier produit partiel -, et l’on dit: en 5 ç) combien de fois 7, ou plutôt (pour se conformer à l’usage suivi , lorsque le diviseur est d’un seul chiffre), le 7' de 5 g est 8 pour 5 b ; le quotient 8 ainsi obtenu exprime les mille du quotient total f*} et s’écrit sous le diviseur, comme on le voit ci-dessus; on retranche le produit 5 b de 5 g , ce qui donne pour reste 3 mille, qu’on doit regarder comme provenant de la retenue faite dans la multiplication des centaines du quotient par 7.

On abaisse à côté du 3 le chiflre 2 des centaines du divt- ' dende, ce qui donne 3 a centaines, qu’on regarde comme le second produit partiel; et l’on dit : le 7 e de 3 a est 4 pour 28 , on écrit le chiffre !\ , qui doit exprimer les centaines du quotient, à la droite du chiffre 8 ; ensuite on retranche le produit 28 du dividende partiel 3 a, ce qui donne le reste 4 centaines, représentant les retenues faites dans la multiplication des dixaines du quotient par 7.

On abaisse à côté du nouveau reste 4 > I® chiffre 1 des dixaines du dividende, ce qui donne 4> dixaines, et l’on dit :

(’) Ou prouverait, si cela était necessaire , que ce chiffre 8 est le véritable chiffre (les mille du quotient, en faisant voir qu’il n’est ni trop fort ni irtqi taible. Or, il nYst pas trop fort , puisque le produit de 7 par 8000, ou îjtiooo, peut titre soustrait du dividende total; et il uYsi pas trop faible, car le produit de 7 par çptoo est (> 3 ouo, nombre qui cm plus grand que le tfivi- ' tende , ci ne peut par conséquent en être soustrait.

DK LA DIVISION.

le 7' do 4' est 5 pour 35 ; on écrit le chiffre 5 à la droite des deux préce’dents, comme exprimant les dixaines du quotient ; on retranche le produit 35 du dividende partiel 4* ; le reste

6 exprime les dixaines provenant de la multiplication des unités du quotient par le diviseur.

Enfin, l’on abaisse à côté du chiffre 6 le chiffre 3, et l’on dit : le 7 e de 63 est g exactement; on écrit ce chiffre g à côté des trois précédents, comme exprimant les unitésdu quotient; on retranche le produit 63 du dividende partiel 63 ; et comme on' obtient o pour reste, il s’ensuit que 845g est le quotient demandé.

En effet, il résulte évidemment de toutes les opérations précédentes , qu’on a successivement retranché du dividende 5g2i3, 7 fois 8 mille , 7 fois 4 centaines , 7 fois 5 dixaines,

7 fois g unités; et puisque , après toutes ces opérations, il ne reste rien , il s’ensuit que 5g2i3 est égal au produit de 845g par 7, ou de 7 par 845g ; ainsi , ce dernier nombre est bien le quotient cherché.

Soit, pour second exemple, à diviser 7543.64 par 8.

La première difficulté qui se présente 754264 [ 8 ici, est de connaître la nature des plus 34 I g4283 hautes unités du quotient , et d’en déter- 22 miner le nombre. Pour y parvenir, obser- 66 vons que, si le premier chiffre à gauche d u 3.4

dividende était plus fort que le diviseur, o

ou lui était égal, le quotient total renfermerait alors des unités de même espèce que celles du chiffre que l’on considère dans le dividende; cela est évident. Mais comme, dans cet exemple, le premier chiffre 7 est plus faible que8, on doiten conclure que les plus hautes unités du quotient ne peuvent être que des unités de la nature du second chiffre à gauche dans le dividende. Alors, on prend les deux premiers chiffres formant 75 dixaines de mille, et l’on dit: le 8 e de 76 est g pour 72; donc le quotient total renferme g dixaines de mille , puisqu 011 peut soustraire du dividende 8 fois g ou 72 dixaines de mille; on écrit alors g sous le diviseur; on retranche le pro-

DK I.A DIVISION.

duil 72 mille, ilu dividende partiel ^5 ; le reste 3 qu’on obtient, provient des retenues de la multiplication des mille du quotient total par 8.

On abaisse à côté du reste 3 le chiffre suivant 4 du dividende, et l'on dit : le 8 ' de 34 mille est 4 pour 32 , et l’on écrit 4 sous le diviseur et à droite du chiffre 9 ; retranchant de 34 le produit 4 fois 8, ou 32 , on a pour reste 2, à côté duquel on • abaisse le chiffre 2 des centaines du dividende ; puis on opère sur le nouveau dividende partiel 22, comme sur le précédent, et l’on continue ces opérations jusqu’à ce qu’on ait abaissé le dernier chiffre 4 du dividende; on obtient ainsi pour le quotient demandé, 94283.

Preuve.

Dans la pratique , toutes les fois que le diviseur n’est que d’un seul chiffre, on abrège l’opération ainsi qu’il suit :

Soit, pour troisième exemple, à diviser 45237324 par 6 . Après avoir souligné le

dividende , on dit : le 6' de 45 est 7 que l’on écrit au- quotient, dessous de 45 , et il reste 3 ® preuve

qu’on réunit par la pensée 4^37324

au chiffre suivant 2, ce qui

donne 32 ; le 6' de 32 est 5 qu’on écrit à la droite de 7, et il reste 2 qui, réuni au chiffre 3 , forme 23 ; le 6* de 23 est 3 que l’on écrit à la droite des deux chiffres précédents, et il reste 5 qui, suivi du chiffre 7, donne 57 ; le 6' de 67 est 9 pour 54 , et il reste 3 qui , suivi du chiffre 3 , donne 33 ; le 6' de 33 est 5 pour 3 o , et il reste 3 qui , suivi du chiffre 2, donne 3 * ; le 6 ' de 3 a est 5 pour 3 o; enfin, le 6 * de 24 est 4. Donc le

4» DK 1.A DIVISION.

quotient cherché est ^53g554- Kn elle t , si 1 on multiplie ce dernier nombre par 6, ou trouve pour produit,

Pareillement, le 8' du nombre 9726647 | ®

est 19.1 57o5. .7

et il reste 7.

Preuve par la multiplication. 8

N. B. — Dans cet exemple, lorsqu’on 979564»

est parvenu au chiffre 7 des centaines du 7

quotient, comme on 11’obtient pas de 9796647 reste, et que le chiffre suivant, 4, est

plus petit que 8, cela indique qu’il n’y a pas de dixaincs au quotient; alors on met un o pour en tenir lieu; puis, faisant suivre le chiffre 4 du chiffre 7 dns unités , ce qui donne 47 , on dit: le 8 e de 47 est 5, que l’on écrit à la droite du o, et il reste 7.

35. Venons au cas ou le dividende et le diviseur sont composés de plusieurs chiffres.

Pour découvrir le procédé del’opération , proposons-nous de multiplier les nombres 5g4 et 4^7; après quoi nous vérifie-

rons le résultat au moyen de la division.

Il résulte de celte multiplication, que 5p4

le produit 969678 se compose des trois 4^7

produits partiels du multiplirande594 par 4'^8

les unités, les dizaines, et les centaines du 1 789

multiplicateur 437. Donc réciproquement, 2376 étant donnés le produit 269678 et l'un de 269678 ses facteurs 5q4 , pour trouver le second

facteur, ou le quotient de la division du premier nombre par le second , il faut tâcher de mettre en évidence dans le produit 2.59678, les trois produits partiels dont il se compose. La chose ne paraît pas facile,;: cause des réductions qui se sont opérées entre les chiffres dans l’addition des produits partiels; cependant on y parvient en raisonnant comme il suit»

I>E LA DIVISION

Le produit partiel de 5g.{ par les centaines du quotient ne pouvant donner moins que des centaines, se trouve nécessairement compris dans les 5.595 centaines du dividende. Cela posé, je dis que, si l'on cherche le chiffre qui exprime leplus grand nombre de fois que 5g4 est contenu dans 25g5, ce chiffre sera celui des centaines du quotient total.

D'abord, ce chiffre n’est pas plus fort que le chiffre des centaines, puisque son produit par 5g4, donnant un nombre plus petit que a5g5 centaines, le quotient total est au moins égal h autant de fois 100 qu’il y a d’unités dans ce chiffre. En second lieu , ce chiffre n’est pas plus faible que le chiffre des centaines, puisque, si on l’augmentait seulement d’une unité, le produit du nouveau chiffre par 5g4 donnerait au moins 25g6 centaines, et ne pourrait par conséquent être soustrait du dividende aSgS’jB; ainsi, ce chiffre doit être celui des centaines du quotient.

La difficulté, pour déterminer le chiffre des centaines du quotient, consiste donc à chercher combien de fois 25g5 contient 5g4 , ou, ce qui revient au même, à chercher le chiffre qui, multiplié par 5g4 , donne le plus grand produit contenu dans25g5.0n pourrait d’abord obtenircecbiffre en soustrayant successivement et autant de fois que possible , 5g.j de 25g5; mais on simplifiera cette recherche en observant, d’après la règle ( n° 19) de la multiplication d’un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d’un seul, que 25 est, à quelques unités près provenant des retenues, le résultat de la multiplication du chiffre 5 de 5g4 , par le chiffre cherché. Or, si l'on divise ?5 par 5, on obtient pour quotient 5, qui est évidemment un chiffre trop fort : car, dans la multiplication de 5g4 par 5 , le produit de g par 5 est 45 dixaiues , ce qui donne !\ centaines à reporter sur le produit de 5 par 5 ou 25. Essayons donc 4 ; le produit de 5g4 par \ est 23^8, nombre qui est plus petit que 2695 , et qu’on écrit alors au-dessous de ce dernier