OOOO

DE t.A DIVISION.

nombre ; ainsi, 4 est le véritable chiffre des ccutaines du quotient; c’est pourquoi on l’écrit sous lè diviseur, comme on le voit ci-dessus. (On voit d’ailleurs que 2876 est le 3 c produit partiel qu’on a obtenu en multipliant 5 g 4 par 437.)

Soustrayant 2376 de 25 g 5 , et abaissant à côté du reste 219 les chiffres suivants du dividende , on a 21978 , nombre qui se compose encore de la somme des produits partiels de 5 g 4 par les dixaines et par les unités du quotient.

Pour obtenir les dixaines, on raisonnera comme précédemment. Le produit de 5 g 4 par des dixaines , ne pouvant donner d’unités d’aucun ordre inférieur à celui des dixaines, se trouve nécessairement dans les 2197 dixaines du nouveau dividende ; et si l’on cherche le chiffre qui exprime le plus grand nombre de fois que 5 g 4 est contenu dans 2197, ce chiffre sera celui des dixaines du quotient. D’abord, il n’est pas trop fort, puisque son produit par 5 g 4 pouvant être soustrait de 2197 dixaines, le quotient est au moins égal à autant de dixaines qu’il y a d’unités dans ce chiffre. Ensuite, il n’est pas trop faible, puisque, si on l’augmentait seulement d’une unité , le produit du nouveau chiffre par 5 g 4 donnerait au moins 2198 dixaines et ne pourrait plus être soustrait du dividende 21978.

Voyons donc combien de fois 2197 contient 5 g 4 , ou plutôt, d’après l’observation faite ci-dessus, combien de fois 21 contient 5 . On trouve 4 ; mais dans la multiplication de 5 g 4 par 4 » le produit de 9 par 4 est 36 , ce qui donne 3 centaines à reporter sur le produit de 5 par 4 , ou 20 ; ainsi 4 est trop fort. Essayons 3 ; le produit de 5 g 4 par 3 est 1782, nombre plus petit que 2197 (on l’écrit alors sous 2197) : ainsi, 3 est le chiffre des dixaines du quotient; et on le place à la droite du chiffre 4 déjà trouvé. (Le produit 1782 est d’ailleurs le 2 'produit partiel de la multiplication de 5 g 4 par 437 -)

Soustrayant 1782 de 2197, et abaissant à côté du reste 4 'S le chiffre 8 du dividende , on obtient 4 * 58 , nombre qui représente le produit partiel de 5 g 4 par les unités du quotient.

Cherchant enfin combien de fois 4 1 58 contient 5 g 4 , ou plutôt, combien de fois 4 1 contient 5 . ou trouve 8 ; mais 8 est trop

DE LA DIVISION

fort, comme il est aisé de le voir; essayons 7 : le produit de 5<)4 P a *' 7 est 4 1 58 , nombre qui, soustrait de la partie restante du dividende , donne pour reste o ; ainsi 7 est le chiffre des unités du quotient; donc 437 est le quotient demandé.

En effet, il résulte évidemment des opérations précédentes, qu'011 a soustrait successivement du dividende 25 g 5 y 8 les produits partiels de 5 g 4 par [\ centaines , 3 dixaines, 7 unités ; et puisque , après toutes ces opérations , il ne reste rien, il s’ensuit que 259578 est égal au produit de 5 g 4 par 437.

54 . Soient maintenant deux nombres , 384 4^*3 7 et 857 , pris au hasard ; et proposons-nous de diviser le premier par le second.

La première difficulté que présente 3844637 I 657

cette opération , consiste à déterminer 3,85 15857

l’ordre des plus hautes unités du quotient , et le nombre de ces plus hautes unités. 11 est d’aliord évidentque, si l’on prenait à la gauche du dividende autant de chiffres qu’il y en a dans le diviseur, c’est-à-dire trois, et que l’ensemble de ces chiffres contint le diviseur, le quotient cherché aurait des dixaines de mille; mais comme il n’en est pas ainsi dans cet exemple , le quotient renferme au plus des unités de mille; il en contient au moins une, puisque le produit de 657 par 1000, ou 657000, est évidemment plus petit que le dividende ; 'ainsi , nous sommes certains déjà que le quotient se compose de mille , centaines, dixaines, et unités.

Pour trouver les mille, remarquons que le produit de 657 par des mille , 11c pouvant donner moins que des mille , se trouve nécessairement dans les 3844 w»r"Zfc du dividende ; et si l’on cherche le chiffre qui exprime 1 e plus grand nombre de fois que 667 est contenu dans 3844 » ce chiffre sera celui des mille du quotient. D’abord , ce chiffre n’est pas trop fort , puisque son produit par 65 j donnant moins que 3844 peut être soustrait du dividende, et qu’ainsi, le quotient est au moins égal à autant de fois 1000 qu’il y a d’unités

ÜL' LA DIVISION.

dans ce chillrc ; il n’est pas trop faible, car si on l'augmentait seulement d’une unité, le produit par 65^ donnerait au moins 3845 mille, et ne pourrait être soustrait du dividende.

Cherchons donc combien de fois 3844 contient 65^, ou simplement, combien de fois 38 contient 6 . On trouve 6 ; mais 6 est trop fort : car dans la multiplication de 657 P ar 6 . I e produit de 5 par 6 est 3o , ce qui donne 3 centaines à reporter sur le produit de 6 par 6 ou 36. Essayons donc 5 ; le produit île 657 par 5 est 3285 (qu’on écrit au-dessous de 3844) > el l’on place 5 au quotient, comme exprimant les mille Au quotient total. *

Soustrayant 3285 de 3844 i et abaissant à côté du reste 55q les autres chiffres du dividende, on obtient 55q637, nombre qui se compose encore des produits partiels de 657 par les centaines, les dixaines, et les unités du quotient, et sur lequel il faut par conséquent raisoungr el opérer comme sur le dividende primitif.

Pour obtenir les centaines, on prend les 55g6 centaines du nouveau dividende; et l’on cherche combien de fois 55q6 contient 657 , ou simplement, combien de fois 55 contient 6 . O 11 trouve 9 pour quotient; mais 9 est évidemment trop fort. Essayons 8 : le produit de 657 par 8 est 5256 , nombre plus petit que 5696 ; ainsi , 8 est le chiffre des centaines du quotient; écrivons ce chiffre à côté du chiffre déjà trouvé, et plaçons d’ailleurs le produit 5256 sous 55q6 , pour soustraire le premier nombre du second.

Effectuant cette nouvelle soustraction, et écrivant à côté du reste 34o, les autres chiffres 37 du dividende, onobtient34o37, nombre qui contient encore les produits partiels de 667 par les dixaines et les unités du quotient.

Divisant 34o3 par 657 , ou plutôt 34 par 6 , on trouve 5 Le produit de 657 par 5 est 3285 , nombre plus petit que 3jo3 ; ainsi , 5 est le chiffre des dixaines , et on l’écrit à la droite des deux précédents; puis on place le produit 3?.85 sous 34o3, et l’on fait celle nouvelle soustraction.

Écrivant à côté du reste 1 18 le dernier chiff re 7 du dividende.

UE LA UlVISIOJf.

‘il

on obtient i 187, nombre qui contient évidemment 65^ unr fois ; ainsi 1 est le chiffre des unités du quotient, et ou le place à la droite des trois précédents ; ce qui donne 585t pour le quotient demandé.

Soustrayant d'ailleurs 65 7 de 1187, on trouve pour reste 53o , ce qui indique que le dividende proposé est compris entre le produit de 657 par 585i et celui de 657 par 585a.

On peut d’ailleurs vérifier l’opération, en multipliant 657 par 585 1 , ou 585 1 par 657, et ajoutant au produit le reste 53o.

Voici les détails de celte preuve 1

N. B. — On peut observer que, dans le cours des operations, il suffit de descendre à côté de chaque reste le chiffre suivant du dividende; et l'on continue ainsi jusqu’à ce qu’on les ait abaissés tous.

33. La détermination de chaque quotient partiel d’après le moyen indiqué jusqu’à présent, exige un tâtonnement plus ou moinslong; et encore n’est-on bien sûr de l’exactitude .lu chiffe e essayé, qu’après que l’on a pu soustraire du dividende partiel le produit du diviseur par ce chiffre.

Il^exisle toutefois un moyen de s’assurer si le chiffre qu’on essaie est bon , avant d’entreprendre la soustraction dont nous venons de parler. Ce moyen consiste à diviser par la pensée le. dividende partiel par le chiffre , en opérant comme dans le 3' exemple du n® 52, ri pousser cette opération tant que les chiffres obtenus au quotient de celte division mentale , sont les mêmes que les chiffres correspondants du diviseur proposé , et à s’arrêter du moment où l'un des chiffres obtenus

RE LA DIVISION

«st plus grand ou plus petit que le chiffre correspondant du diviseur. Si le chiffre obtenu est plus grand, nul doute que le chiffre essayé ne soit bon} si le chiffre obtenu est plus petit, on peut également affirmer que le chiffre essayé est trop fort ; on le diminue alors d’une unité ; puis on opère sur le nouveau chiffre comme sur le précédent.

Soit, pour exemple, à diviser 13^836 par 1 583 .

Le premier dividende partiel étant 137836 |583

13783, on est conduit à dire : en i 3 coin- 12664 *"87

bien de fois 1 ? 1 3 fois. Mais le premier 7.

quotient partiel 11e pouvant être que 9 ai^ 1 1 *9 plus, il faut essayer 9; et pour cela, on 1 lo ^‘ dit : le 9 e de 1 3 est 1 pour 9, et il reste 4 ; le 9* de 47 est 5 pour 45 , et il reste 2; le 9' de 28 est 3 , chiffre plus petit que le 3 e chiffre 8 du diviseur proposé ; donc 9 est trop fort , car le 9' de 13783 étant moindre que ce diviseur, on ne peut soustraire 9 fois celui-ci du dividende partiel. Essayons maintenant 8; or, le 8 e de i 3 est 1 pour 8, et il reste 5 ; le 8' de 67 est 7, chiffre plus grand que le 2' chiffre 5 du diviseur proposé ; ainsi le chiffre 8 est bon, puisque, le 8 ' de 13783 surpassant le diviseur proposé, on peut soustraire 8 fois ce diviseur du dividende partiel.

Multipliant 1 583 par 8 et soustrayant le produit 12664 du dividende partiel, on obtient pour reste, 1119, et pour second dividende partiel, 1 1 196.

On dit ensuite : en 1 1 combien de fois 1 ? 1 1 fois; mais il est évident que le 2' quotient partiel ne peut être que 8 au' plus, puisque le nouveau dividende partiel est moindre que le premier. Essayons donc 8 ; or, le 8' de 1 1 est 1 pour 8 , et il reste 3 ; le 8 e de 3 1 est 3 , chiffre plus petit que le 2* chiffre du diviseur proposé ; d’où l’on conclut que 8 est trop fort , puisqu’on ne saurait soustraire 8 fois ce diviseur du second dividende partiel. Essayons maintenant 7 ; or, le 7* de 11 est 1 pour 7, et il reste 4 ; le 7' de 4 > est 5 pour 35 , et il reste 6 ; le 7' de 69 est 9, chiffre plus grand que le 3 * chiffre 8 du diviseur primitif; donc le chiffre 7 est bon, puisque le 7' de

DK LA DIVISION. {rç

1 1 196 étant plus prand que i 583 , ou peut soustraire 7 fois ce dernier nombre de 1 1 iq6.

Multipliant 1 583 par 7 et soustrayant le produit 11081 de 1119b, on obtient pour reste 1 1 5 , et pour quotient cherché , 87.

A . Il, — Quand on est obligé de pousser l’essai jusqu’au chiffre des unités du premier ordre, il en résulte cet avantage, que la soustraction se trouve toute faite.

Ainsi, pour diviser 12670 par i 583 , après avoir constaté que 9 serait trop fort, on essaie 8 en disant : le 8* de 12 est 1 pour 8 , et il reste 4 ; le 8 ' de 46 est 5 pour 4 o , et il reste 6 ; le 8' de 67 est 8 pour 64 , et il reste 3 ; le 8' de 3 o est 3 pour 24, et il reste 6 .

On reconnaît donc à la fois que le quotient est 8, et que le reste de la soustraction est 6 ; c’est-à-dire que le dividende contient 8 fois le diviseur, et en outre 6 unités.

36. Règle générale.— Pour diviserdeux nombresenliers l’un par l’autre, écrivez le diviseur à la droite du dividende; séparezles par un trait vertical; et tirez une barre au-dessous du diviseur.

(.ela fait , prenez à la gauche du dividende autant de chiffres qu'il y en a dans le diviseur, ou un de plus si l'ensemble de ces premiers chiffres est plus petit que le diviseur; vous obtenez ainsi UN premier dividende partiel dont le chiffre à droite exprime des unités de même ordre que les plus hautes unités du quotient. Cherchez ( n° 36) combien de fois ce dividende partiel contient le diviseur. Ce quotient obtenu , écrivez-le sous le diviseur; multipliez le diviseitr par ce chiffre, et soustrayez le produit, du premier dividende partiel.

Abaissez à côté du reste le chiffre suivant du dividende, ce qui donne un second dividende partiel. Cherchez, comme précédemment , combien de fois ce second dividende partiel contient le diviseur, et écrivez ce nouveau quotient à la droite du premier ; multipliez le diviseur parce second quotient , et retranchez le produit, du second dividende partiel.

Abaissez à côté de ce second reste le chiffre suivant du dividende, ce qui donne un troisième dividende partiel, sur lequel vous opérez comme sur les précédents.

de r.A nivrsro!».

C onlinuez celte série d'opérations jusqu'à ce que nous ayez abaissé, le dernier chiffre , en ayant soin , à chaque opération , d’écrire le quotient que vous obtenez , à la droite des précédents , afin de donner à ceux-ci leur véritable valeur. Si , après toutes ces opérations, il 11e reste rien , la division est dite exacte. Si vous obtenez un reste, vous l’ajoutez, dans la preuve, au produit du diviseur par le quotient trouvé.

57. Après s’ètre bien familiarisé avec les diverses parties de ce procédé , on peut encore abréger beaucoup les opérations partielles, en effectuant les multiplications elles soustractions tout à la fois, comme on va le voir dans l’exemple suivant qui est un des plus difficiles qu’on puisse se proposer.

Diviser g63g475 par 2789.

Je prends d’abord les quatre premiers chiffres à gauche du dividende, puisque leur ensemble contient le diviseur; et je divise 9639 par 2789 , ou simplement 9 par 2 ; il vient 4 pour quotient; mais il est aisé de voir ( n° 35) que ce chiffre est trop fort. J’essaie donc 3, qui est le véritable chiffre , car le tiers de 9 est 3 , chiffre plus giand que le premier chiffre 2 du diviseur.

Cela posé, au lieu de multiplier 2789 par 3 et d’écrire le produit sous 9639, pour en faire la soustraction , j’opère ainsi qu’il suit : je dis 3 fois 9 font 27 ; ôtez 27 de 9 (dernier chiffre à droite de 9839) , cela ne se peut ; je suppose g augmenté de 2 dixaincs, ce qui donne 29, et je retranche 27 de 29; il reste 2 que j’écris au-dessous de 9639, après avoir souligné ce dernier nombre. Observons maintenant que les 2 dixaines ajoutées sont censées avoir été empruntées sur le chiffre 3, qui ne vaut plus que 1 ; mais (n° 14 ) il revient évidemment au même, et cela est plus commode, de retenir lésa dixaines pour les joindre au produit des dixaines du diviseur par le quotient 3, et pour soustraire le tout, des dixaines du dividende 9639, prises en totalité.

.Te dis donc ensuite 3 lois 8 font 24, et 2 de retenue font 2(>;

DE I.A DIVISION. 5 1

26 de 3 , cela ne se peut; mais empruntant 3 centaines sur le chiffre îles centaines du dividende partiel , j’obtiens 33 , et je soustrais 26 île 33 ; il reste 7, que j’écris sous le 3 du dividende partiel; je retiens d’ailleurs les 3 centaines.

3 fois 7 font 21 , et 3 de retenue font 24 ; 24 de 6, cela ne se peut; mais ?-4 de 26, il rcste2, que j’écris sous le 6du dividende partiel ; et je retiens 2 mille.

Enfin, 3 fois 2 font6, et 2 de retenue font 8 ; 8 de 9, il reste 1 , que j’écris sous le 9.

11 reste donc 1272; à côté de ce nombre j’abaisse lecliilfre .j du dividende ; ce qui donne le second dividende partiel 12724 , sur lequel j’opère de la même manière.

En 12724 combien de fois 2789, ou en 12 combien de fois 2? Il y est 6 fois; or 6 et même 5 sont trop forts, comme il est aisé de le reconnaître (n° 58 ); mais 4 est bon, et j’écris 4 au quotient à la droite du 3 ; et je dis 4 fois 9 font 36 ; 36 de 4 , cela ne se peut; mais 36 de 44 > d reste 8, que j’écris au-dessous du 4 , et je retiens 4.

4 fois 8 font 3 a, et 4 de retenue font 36 ; 66 de 2, cela ne se peut ; mais 36 de 42, il reste 6 , que j’écris au-dessous du 2, et je retiens 4 -

4 fois 7 font 28, et 4 de retenue font 3 a , 32 de 37, il reste 5 , que j’écris sous le 7, et je retiens 3 .

Euliii , 4 fois 2 font 8, et 3 de retenue font 11; 11 de 12, il reste 1, que j’écris sous le 2.

Le reste de cette nouvelle opération est i 568 , à côté duquel j’abaisse le chiffre suivaut du dividende; j’ai 16687 pour troisième dividende partiel, sur lequel j’opère de la même manière, ainsi que sur les suivants; et j’obtiens enfiu pour quotient, 3456 , avec le reste 6gi.

Voici le tableau des operations pour un nouvel exemple :

DE LA DIVISION

315. Première remarque, sur la division. — Ce dernier exemple donne lieu à une observation importante :

Après avoir trouve' pour premier quotient 5, et pour premier reste t4?3 , on abaisse à côté de ce reste le chiffre suivant, ce qui donne pour second dividende partiel i473ç). Or, ce dividende partiel ne contient pas le diviseur ; donc le quotient total n’a pas de centaines, puisque, s’il en avait seulement une, son produit par 3ç)t>3 r ] devrait pouvoir être soustrait du dividende partiel i473g; ce qui n’a pas lieu. Mais pour conserver au chiffre 5 du quotient la valeur qu’il doit avoir, il faut écrire au quotient un o qui tienne lieu des centaines ; et abaissant ensuite à côté de i473g le chiffre suivant 6 du dividende, on continue l’opération ; ce qui donne successivement le chiffre des dixaines et le chiffre des unités.

En général, toutes les fois qu’en abaissant à côté d’un reste, le chiffre suivant, on obtient un nombre moindre que le diviseur, cela indique que le quotient n’a pas d’unités de l’ordre du chiffre abaissé; alors on met au quotient un o, pour tenir la place des unités qui manquent , et donner ainsi aux chiffres significatifs déjà trouvés, leur valeur relative. On abaisse ensuite à côté de ce dividende partiel, un nouveau chiffre , et ion continue i opération.

39 . Seconde remarque . — Lorsqu’une opération partielle aélé bien faite, c'est-à-dire lorsque le chiffre du quotient, relatif à cette opération, a été exactement déterminé, on ne peut pas, dans l’opération suivante ; trouver plus de g au quotient: car supposer que l’on put obtenir seulement îo, ce serait supposer que le chiffre précédent est trop faible d’une unité.

Il existe d’ailleurs un signe certain auquel on reconnaît qu’un chiffre du quotient est bien déterminé ; c’est lorsqu’en soustrayant le produit partiel du diviseur par ce chiffre, on obtient un reste moindre que le diviseur. Si ce reste est supérieur ou égal au diviseur, il faut augmenter d’une unité le chiffre trouvé d’abord.

40. Comme, dans les trois premières opérations de l’Arithmétique, les calculs s’effectuent à commencer parla droite,

DF. I.A DIVISION

il est naturel de demander pourquoi , dans la division, on commence au contraire par la gauche. Pour répondre à cette question , il faut observer que, le dividende étant la somme des produits partiels dji diviseur par les unités , les dixaincs , les centaines, etc., du quotient, tous ces produits partiels se fondent les uns dans les autres; et il n’est pas possible de mettre d’abord en évidence le produit du diviseur par les unités , le produit par les dixaiues, etc. ; tandis que, d'après le procédé indiqué précédemment, on détermine sur-lecbainp dans quelle partie du dividende se trouve le produit par les unités les plus fortes.

(Auresle,on pourrait commencer l’opération par la droite, en l’effectuant par des soustractions successives, comme ou l’a indiqué n° 30 ) (*).

-il. Donnons maintenant quelques usages de la multiplication et de la division.

Première question. — On demande le prix de ?.56 { mètres d'un certain ouvrage, en supposant que le mètre coûte 47 francs.

Puisque chaque mètre coûte fa francs, il est clair qu’en répétant cette valeur 2564 fo* s ) 0,1 aura le prix des a564 mètres. Ainsi il suflit d’effectuer le produit de 47 par 2564, 0,1 plutôt ( n° 28) le produitde 2564 I ,ar 47! ct 1'°" obtiendra le nombre de francs demandé.

On a pour ce produit , i2o5o8 ; donc, 2564 mètres ont coûté i2o5o8fr.

(*) Nous ajouterons encore Ja remarque suivante :

Pour peu qu'on réfléchisse sur le procédé general de (.«division et sui le* exemples qui ont servi à l’expliquer, on est conduit h celle conséquence, que — Quels que soient le dividende et le diviseur , le nomhiie total des chiffres du quotient est égal nu nombre plus un des chiffres du dividende , qui se trouvent à lu droite du premier dividende partiel ; puisque le pre* mier dividende partiel donne un chiffre au quotient, cl que chacun des chiffres que l’on abaisse ensuite dans le dividende en donne un nouveau.

En d'autres termes, ce nombre total est égal a la différence entre te nombre des chiffres du dividende et le nombre des chiffres du diviseur , ou bien, a cette différence plus un , suivant que le premier dividende partiel a un chiffic de plus ou le mUmc nombre de chiffres que le diviseur.

DE LA DIVISION

Seconde question. — Le mètre d’un certain ouvrage en maçonnerie coûte 3g francs; on demande combien on fera construire de mètres pour 83g5 francs,

II est clair qu’autant de fois 3g sera contenu dans 83g5, autant de mètres on pourra faire construire ; ainsi , il suffit de diviser 83g5 par 3g; et le quotient qu’on obtiendra sera le nombre de mètres demande.

83g5 3g 5g 2i5"'' io

Comme on obtient , outre le quotient 2i5, un reste io , il faut savoir l’usage qu’on doit faire de ce reste.

Observons que, si le dividende renfermait i o francs de moins, il serait le produit exact de 3g par 1 15 ; ainsi , le nombre de mètres demandé serait 2i5; mais comme on a io francs de plus, il s’agit de déterminer la fraction de mètre qu’on peut faire construire avec ces io francs.

Or, avec un franc, on aurait évidemment — de mètre,

puisqu’on a un mètre pour 3g francs ; donc avec i o francs , on

doit avoir io fois — ou ^ de mètre ( voyez n° 8); ainsi 2i5 3g 3

mètres plus ^ de mètre forment le résultat demandé.

Tel est, en général, l’usage qu’on doit faire du reste d’une division , lorsqu’en effectuant cette opération, on a en vue de résoudre 'une question relative à des nombres concrets :

On conçoit Limité du quotient (dont la nature est toujours déterminée par l’énoncé de la question) divisée en autant de parties égales qu’il y a d’unités dans le diviseur ; on prend Hune de ces parties autant de fois qu’il y a <f unités dans le reste de la division; puis on ajoute la fraction qui en résulte nu nombre entier déjà obtenu.

11 K l.A DmSION.

Tiloisième question. — On a payé 21478 fr. pour 8 g 5 mènes d'une certaine étojflc ; on demande le prix du mètre de cette étoffe.

Si I 'oh connaissait le prix du mètre , en le répétant 8 g 5 fois, 011 devrait reproduire 21478 francs ; ainsi, il suffit encore de diviser 21478 par 8 ç) 5 .

3578 Ti/'-jHfê

( outille le dividende, outre le produit de 8 g 5 par 23 , contient encore 893 francs , il s'ensuit que le prix du mètre est 23 fr., plus une fraction qu’il s’agit rie déterminer.

Pour y parvenir, remarquons que répété 895 lois,

ogj

donne 1 ; ainsi, ~g répété 8 g 5 fois, donne 8 g 3 ; et par cnn- 8 q 3

séquent, 23 plus ts t un nombre <pii , multiplié par 8 r) 5 , reproduit 21478. Donc enfin , le prix demandé est 2.3 francs

plus lie liane.

Ce résultat s’accorde avec la règle établie dans l’exemple précédent.

Quatiiième question. — Supposons que ,{ 98 personnes aient à partager également une somme de 1 348708 francs ; on demande la part qui revient à chacune.

4io8

l.e quotient de cette division étant 2708, et le reste 124, on peut déjà conclure que , si la somme à partager était diminuée

UE LA DIVISION

de 12.4 francs, chaque personne aurait pour sa pari, 2708 lianes. Mais comme la somme renferme 124 francs de plus que le produit de 2708 par 4ç)8 , il s’ensuit que chaque personne doit avoir 2708 francs, plus une partie des 124 francs. ‘Pour se tonner une idée de cette partie, on peut d’abord considérer le nombre 124 comme ON tout qu’il faut diviser en 498 parties égales ; et l'une de ces parties est la fraction qui doit compléter le quotient ; mais il est plus simple (n° 8 ) de concevoir l’unité, qui est ici le franc , divisée en 498 parties égales appelées

498''"'’, et de prendre 124 de ces parties , ce qui donne 7--^ pour la fraction à ajouter au quotient entier.

42 . IK. 1 ). — Ce dernier exemple nous conduit à une remarque dont nous ferons souvent usage ; c’est que, diviser le nombre 124 en 498 parties égales, revient à prendre 124 fois la 498' partie de l’unité. Eu effet, si, au lieu de 124, on avait seulement 1 à diviser en 498 parties égales, chaque partie

serait ; mais comme le nombre à partager est 124 fois

plus grand , ou conçoit que le résultat du partage doit être

124 fois plus grand, ou égal à 12.4 fois 7-^3 , ou bien enfin, , 49 y

•De même, diviser i 5 en 28 parties égales, revient à prendre t 5 fois la 28' partie de l’uuité. Car, si l’on avait seulement 1

à diviser en 28 parties égales, chaque partie serait égale à — ; mais comme on a à partager 1 5 , ou un nombre i 5 fois plus

grand, le résultat doit être égal à j 5 fois — , ou à

En général , diviser un nombre en autant de parties égales qu'il y a d’unités dans un autre, revient à diviser l’unité en autant de parties égales qu’il y a d’unités dans le second , et à prendre l'une de ces parties autant de fois qu’il y a d'unités dans le premier.

WtlNCH'ES Slill LA MULTIPLICATION ET LA DIVISION.

Autres principes sur lu multiplication et la division.

43. Des propositions démontrées n°‘ SS. .'. .28, on déduit quelques conséquences qu’il est bon de faire connaître , parce qu’elles sont d’un usage continuel eu Arithmétique.

Observons avant tout que, d’après les définitions memes de la multiplication et de la division des nombres entiers, on rend un nombre entier autant de fois plus grand ou plus petit qu’il y a d’unités dans un autre , en multipliant ou divisant le premier nombre par le second.

Ainsi, lorsqu’on multiplie 24 par 6, le produit i44 ( l ll ’ on obtient est 6 fois plus grand que 24, puisqu’il résulte de l’addition de 6 nombres égaux A 24. De même, si l’on divise 24 par 6 , le quotient 4 est 6 fois plus petit que 24, puisque ce quotient répété 6 fois, reproduit 24.

Cela posé, je dis d’abord que si, dans une multiplication, on rend le multiplicande ou le. multiplicateur un certain nombre de fois plus grand ou plus petit , le produit est , par ce changement, rendu le même nombre de fois plus grand ou j>lus petit.

Soit, par exemple, à multiplier 47 par 6, et supposons qu’au lieu d’effectuer cette opération, 011 multiplie 47 par ?-4> qui est 4 fois plus grand quc6 ; comme , d’après ce qui a été dit n° 20, multiplier 47 par 2.4 revient à multiplier 47 par 6 et le produit obtenu par 4> il s’ensuit que le produit de 47 par a4 est égal à 4 fois le produit de 47 par 6 , ou bien , est 4 fois plus grand que le produit de 47 par 6.

Réciproquement, le produit de 47 par 6 (qui est le quart de 24) étant six lois plus petit que le produit de 47 par 24, il s’ensuit que si l’on rend le multiplicateur 4 fois plus petit , ou si on le divise pat'4, le produitest, par ce changement, rendu 4 fois plus petit.

On a vu d’ailleurs ( n° 2d) que , dans une multiplication tle deux facteurs, on peut intervertir l’ordre des deux facteurs; donc ce qui vient d’etre dit par rapport au multiplicateur, s’applique également au multiplicande; donc, etc. . . .