CHAPITRE II
Des Fractions.
44. On a déjà vu (n“* I et 8) ce que c’est qu’une fraction , et quelle idée ou doit s’eu former. Ou distingue toujours deux termes dans une fraction , le dénominateur et le numérateur. Le dénominateur indique en combien de parties égales l'unité est divisée, et le numérateur, combien on prend de ces parties ; l’ensemble des parties que l’on prend constitue la fraction.
Ainsi, dans la fraction -j , qu’on énonce trois quarts , 4
est le dénominateur et indique que l’unité est divisée en 4 parties égales ; 3 est le numérateur et indique qu’on prend
3 de ces parties. De même la fraction , que l’on énonce
orne douzièmes , exprime ti parties de l’unité supposée divisée en 12 parties égales.
On a vu également (n° 42) qu’une fraction telle que — est
équivalente à la i5' partie du tout exprimé par i3 ; c’est-à-dire qu’une fraction peut encore être considérée comme le quotient de son numérateur divisé par son dénominateur ; en sorte que treize fois le quinzième de l’unité, ou treize quinzièmes , et la quinzième partie de treize, ou treize divisé par quinze, sont des expressions identiques.
• 48. De la définition que nous venons de donner du numérateur et du dénominateur , résultent évidemment les conséquences suivantes :
rHlPfCIPES FONDAMENTAUX
tio
i“. Si, sans altérer le dénominateur d’une fraction, on multiplie ou divise son numérateur par un nombre , la nouvelle fraction sera ce nombre de fois plus grande ou plus petite que la première.
En effet , lorsqu'on multiplie le numérateur -par 2 , 3, 4,..., on indique par là qu’on prend 2 , 3 , 4 .••• fois plus de parties; et, comme les parties sont les mêmes , la nouvelle fraction est
2 , 3, 4 ... fois plus grande. Ainsi, soit la fraction -g; il est J2 j 3 2I
clair que—, — ~ sont des fractions 2 , 3, 4 >•• • fois
plus grandes que la première.
Au contraire, en divisant le numérateur par 2 , 3, 4 •••, on indique que l’on prend 2 , 3, 4> - • • fois moins de parties; 3 2
donc, etc.... Ainsi, ^ , sont respectivement a, 3 fois
plus petits que -g.
2 0 . Si , sans altérer le numérateur, on multiplie ou divise, le dénominateur d’une fraction par un nombre, on divise ou multiplie la fraction par ce nombre.
En effet, lorsqu’on multiplie le dénominateur par 2 , 3 ,4--m on indique que l’unité est divisée en 2,3,4 •••• f° is pl us de parties égales ; les nouvelles parties sont donc 2 , 3 , i\, ... fois plus petites; et comme on prend toujours le meme nombre de ces parties , il s’ensuit que la fraction résultante est 2 , 3, 4 ,--fois plus petite.
Au contraire , si l’on divise le dénominateur par 2 , 3, f \ ,..., l’unité se trouve divisée en 2 , 3, \,... fois moins de parties égales; les nouvelles parties sont donc 2 , 3, 4> - • • f° ls plus graudes ; et comme on en prend toujours le même nombre, il s’ensuit que la fraction résultante est 2 , 3, 4 ? fois pl us grande que la première.
3°. On ne change point la valeur d'une fraction en multipliant ou divisant ses deux termes par un même nombre.
K 11 effet , il résulte des deux premiers principes, que l’effet de
SU K LUS I HACnONS.
l'opération exécutée sur le dénominateur détruit l'effet de l’opération exécutée sur le numérateur, et qu’ainsi il y a compensation.
Par exemple, les tractions -, -,
8’ 19.’ iG’ zo
. , sont toutes
équivalentes à la fraction y, puisqu’elles résultent de la multiplication de chacun de ses deux termes par 2 , 3 , 4 , 5 , . . . . De même, la fraction ^ est égale à chacune des fractions — , puisqu’on obtient ces dernières en divisant les
deux termes de -rj: par 2 , 3 , 4 , • • •
Ces diverses propositions sont analogues aux principes établis (n“ 45) sur la division des nombres entiers, et doivent par conséquent être regardées comme une extension des mêmes principes aux fractions.
46. Comme la troisième proposition est d’une application continuelle, nous croyons devoir en donner une démonstration directe et indépendante des deux premières.
Prenons pour exemple la fraction ÿ, et multiplions par 3 les
deux termes 5 et 8, ce qui donne ; je dis que celle dernière
fraction est équivalente à la première.
E 11 effet, l’unité principale étant d’abord divisée en huit parties égales, divisons chaque huitième c n trois parties égales : l’unité se trouve ainsi divisée en vingt-quatre parties égales. Chaque huitième vaut donc trois vingt-quatrièmes, et cinq huitièmes valent cinq fois trois, ou quinze vingt-quatrièmes ,
c’est-à-dire que les fractions 5 et -- ont absolument Ja même
valeur. .
O 11 démontrerait de la même manière que les fractions* —
RÉDUCTION des FRACTIONS
■ •l gg, do„l la Jernièrc se forme en multipliant par 5 les deux
termes 11 et i ?. de la première , sont égales.
Comme, réciproquement, on passe de la fraction à la frac-
tioixg en prenant le tiers de chacun des termes de la première,
et de la fraction g- à la fraction — en prenant le cinquième des
deux termes de la première , on peut conclure qu’une fraction ne change pas de valeur lorsqu'on multiplie ou divise ses deux termes par un même nombre.
Nous allons passeraux diverses opérations que l’on peut avoir à ellcctuersur les fractions, dans la résolution d’une question dont les données sont des fractions ou des nombres fractionnaires. Mais avant d’exposer les quatre opérations fondamentales, il est nécessaire de faire connaître deux transformations d’un usage fréquent, et particulières au calcul des fractions.
Réduction des fractions à un même dénominateur .
47. Cette transformation a pour objet, deux ou plusieurs fractions dC espèces différentes, ou de différents dénominateurs , étant données , de les réduire à la même espece, ou au même dénominateur. Or, le principe, qu’on ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant ses deux termes par un même nombre, fournit un.moyen simple d’exécuter cette transformation.
Soient, par exemple, les fractions - et - , qu’il s'agit de réduire au même dénominateur.
Si l’on multiplie les deux termes 3 et 4 de la première, par 7 , dénominateur de la seconde, et les deux termes 5 et 7 de la
seconde, par 4 , dénominateur de la première, il vient gg et — pour les deux fi actions demandées
Al) MÊME DÉNOMINATEUR.
as
Ces fractions ont la même valeur que les fractions proposées, d’après le principe du a" 40 ; de plus, elles ont nécessairement des dénominateurs égaux , puisque chacun d’eux est le produit des deux dénominateurs primitifs 4 et 7.
Soient encore les fractions - , - , — , à réduire au mente J 7811
dénominateur.
Multipliez les deux termes 4 et 7 de la première fraction , ' par 88, produit des dénominateurs 8 et 1 1 de la seconde et de la troisième fraction ; puis, les deux termes 5 et 8 de la seconde, par 77, produit des dénominateurs 7 et i 1 de la première et «le la troisième; enfin, les deux termes 6 et 1 1 de la troi- . sièine, par 56 , produit desdénomiuateurs 7 et 8 de la première et
«le la seconde; vous aurez lesnouvelles tractions n—~.
61b bib bib
Ces fractions ont même valeur que les fractions primitives, et leurs dénominateurs sont les mêmes , puisque chacun d’eux est le produit des trois dénominateurs 7, 8, et ir, multipliés seulement dans un ordre «lifférent. {Voyez n°* 21» . . 28 .)
Règle générale. — Pour réduire un nombre quelconque de fractions au meme dénominateur , multipliez successivement les deux termes de chacune d’elles par le produit effectué des dénominateurs des autres fractions.
Voici d’ailleurs la manière «l’appliquer cette règle dans la pratique :
Soient les cinq fractions — ? et ~ré.
Pour plus de simplicité, l’on dispose ainsi l’opération :
Après avoir forme le produit des cinq dénominateurs 8, 1 1 .
IIBUUCTION DES fractions
1 3 , 25,43, ce qui donne pour dénominateur commun des fractions transformées, le produit 1229800, on divise successivement ce produit par chacun des dénominateurs particuliers; et l’on obtient les cinq quotients 153^25, 111800, 94608, 49192, 28600, que l’on place respectivement au-dessous des cinq fractions proposées; après quoi, l’on multiplie le numérateurde chaque fraction par le quotient qui lui corres- * pond; et l’on aainsi les divers numérateurs; de la sorte, toutes les fractions se trouvent réduites au même dénominateur.
La raison de cette manière de procéder est facile» saisir: car le nombre 1229800 étant le produit des cinq dénominateurs, le quotient 153^25 de la division de 1229800 par 8 exprime nécessairement le produit des quatre autres dénominateurs 1 1 , . i3, 2.5, 43 Le même, 1 1 1800 étant le quotient de la division de 1229800 par le second dénominateur 1 1 , est égal au produit des quatre autres dénominateurs 8 , i3, 25 , et 43 ; même raisonnement par rapport aux autres quotients. Ce moyen est d’ailleurs , sans contredit, beaucoupplus expéditif que si, pour chaque fraction, l’on effectuait la multiplication des dénominateurs des quatre autres. Mais il n’est réellement avantageux que quand on a plus de trois fractions à réduire au même dénominateur.
48. Il est un cas où la réduction au même dénominateur peut s’opérer d’une manière très simple : c’est lorsque le plus grand des dénominateurs ■ est exactement divisible par chacun des autres.
Soient, par exemple, les fractions
11 est facile de voir que 36 est divisible exactement par clia^ cuu des quatre autres dénominateurs 3 , 4 , 6 , et 12.
Cela posé, l’on effectue successivement ces divisions , et l’on
