DE LA TRANSFORMATION PRÉCÉDENTE
la première devient et la seconde ; donc la fraction r 210 210
proposée a augmenté de valeur, et elle a augmenté de — g.
Pour rendre compte de ce fait sans aucun calcul , observons
que l’unité étant égale A — , l’excès de l’unité sur — est ex-»
primé par — de même, l’exces de l'unité sur yg est exprime
par—. Les numérateurs de ces deux différences sont les memes ; et cela doit être : car 18 et i 3 ayant été formés par l’addition du même nombre 6 aux deux termes y et 12 , il s’ensuit qu’il y a même différence entre 18 et i 3 qu’entre 12 et y.
Mais la différence yg est nécessairement moindre que la diffé-
rence — , puisque le preinierdénominateur estplus grand, et que
les numérateurs sont égaux ; donc la fraction -g diffère moins
de l’unité que la fraction — ; par conséquent la première est plus grande que la seconde.
On conçoit d’ailleurs que plus le nombre ajouté aux deux
termes de la fraction — est grand , plus la différence entre
l’unité et la nouvelle fraction est petite, puisque le numérateur de cette différence étant toujours 5 , le dénominateur augmente de plus en plus, et qu’ainsi la fraction devient de plus en plus grande.
Ce raisonnement pouvant évidemment s’appliquer à toute autre fraction , on peut en conclure que si , aux deux termes d'une fraction, on ajoute un meme nombre , la fraction résultante est plus grande que la fraction proposée ; et elle est d’autant plus grande que le nombre ajouté est plus grand.
Par la raison inverse, une fraction diminue de valeur lorsqu’on retranche un meme nombre de ses deux termes.
SIHPUFICATNJN DUS FRACTIONS.
Nuus avons cru devoir entrer dans quelques détails sur celte proposition , afin d’empêclier les commençants d’assimiler cette circonstance au cas où l’on multiplie ou divise les deux termes d’une fraction par un même nombre. Dans ce dernier cas, on ne change pas (n° 46) la valeur de la fraction ; tandis qu’en ajoutant ou soustrayant un même nombre, on augmente ou diminue la fraction.
Réduction et une fraction à de moindres termes.
SO. 11 arrive souvent , dans le calcul des fractions, que l’on est conduit à une fraction exprimée par de grands nombres j or, plus le numérateur et le dénominateur sont grands, pinson a de peine à se faire une idée nette de la fraction.
Par exemple, la fraction —g indique qu’il faut diviser
l’unité en i5 parties égales , et prendre 1 2 de ces parties. Mais 12 et i5 étant en même temps divisibles par 3 , si l’on effectue les divisions, il vient g , fraction équivalente à la proposée (n° 46) ; alors, pour s’en former une idée, il suffit de concevoir l’unité divisée en 5 parties égales et d’en prendre 4 , ce qui est beaucoup plus simple.
Lors donc que l’on a une fraction dont les termes sont assez grands, il est utile de la réduire, s’il y a lieu, h une autre fraction dont les termes soient moindres.
Le premier moyen qui se présente , c’est de diviser les deux termes par les nombres 2 , 3, 4,- . . , tant que cela est possible.
Soit, pour exemple, la fraction -y y à réduire h de moindres termes.
11 est aisé de voir que les deux termes sont divisibles par 2 ;
effectuant les divisions, on obtient pour premier résultat, — .
Les deux termes de cette nouvelle fraction sont encore divrsildes par et il vient pour nouveau résultat,
nu Plus r.iuvn commun nmsETJH.
Essayant inaintt'iiant la division par 3 , on trouve
ta ’
fraction
dont les deux termes sont encore divisibles par 3 ; ce qui donne
enfin
pour la traction —n
réduite à son expression la plus
simple.
Cette méthode est facile et commode ; mais elle ne peut être généralisée maintenant.
Voici une autre manière de réduire une fraction proposée à sa plus simple expression : elle consiste à déterminer directement le plus grand nombre qui divise à la fois les deux termes de la fraction, ou, en d’autres termes, leur plus grand commun diviseur
