OU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

Premier principe. — 7 oui nombre qui divise exactement un autre nombre , divise aussi un multiple quelconque de ce second nombre.

Par exemple, 24 étant divisible par 8 , et donnant pour quotient 3 , 5 lois 24 ou 120 divisé par 8 , donnera ( n° 43 ) pour quotient 5 fois 3 , ou i 5 . De même. 60 étant divisible par 12 et donnant pour quotient 5 7 fois 60 ou 420 divisé par 12,

donnera pour quotient 7 fois 5 , ou 35 .

Deuxième principe. — 7 'oui nombre décomposé en deux parties divisibles l’une et l’autre par un second nombre , est lui-même divisible par ce second nombre.

En effet, le quotient de la division du nombre total étant évidemment égal à la somme des deux quotients partiels, si ces deux quotients partiels sont entiers, leur somme, c’est-à-dire le quotient total , sera entier.

Troisième principe. — Tout nombre qui divise séparément une somme décomposée en deux parties , et l’ une des parties , divise aussi l'autre partie.

Car, le quotient total étant égal à la somme des deux quotients partiels, si l’un de ces quotients partiels étant entier, l’autre était fractionnaire , ^1 s’ensuivrait qu’un nombre entier serait égal à un nombre fractionnaire (n° I); ce qui est absurde.

32 . Cela posé , soient les deux nombres 36 o et 276 entre lesquels on se propose de déterminer le plus grand commun diviseur (n° 30 ).

11 est d’abord évident que ce plus grand commun diviseur ne saurait surpasser le plus petit nombre 276; et comme 276 se divise lui-même, pourvu qu’il divise 36 o , il sera le plus grand commun diviseur cherché.

Essayant la division de 36 o par 276 , on trouve pour quotient 1 et pour reste 84 ; donc 276 n’est pas le plus grand commun diviseur. Je dis maintenant que le plus grand commun diviseur entre 36 o et 276 est le meme qu’entre le plus petit nombre 276 et le reste 84 de la division.

En effet , le plus grand commun diviseur cherché devant

mj PLUS l.KAND COMMUN BIVtSEUII. 71

diviser 36 o et l’une de ses parties 376, divise nécessairement l’autre partie 84 (n* 81 , V principe) d’où l’on peut déjà conclure que le plus grand commun diviseur entre 36 o et 376 ne peut surpasser celui des nombres 276 et 84 , puisqu’il doit diviser ces deux derniers. En second lieu , le plus grand commun diviseur entre 276 et 84, divisant les deux parties du tout 36 o, divise nécessairement ce dernier nombre (n° 81 , principe)-, et alors, étant diviseur exact de 36 o et de 276, il ne peut lui-méme surpasser le plus grand commun diviseur entre 36 o et 276. D’où l’on voit que le plus grand commun diviseur entre 36 o et 276, et le plus grand commun diviseur entre 276 et 84 , ne peuvent être plus grands l’un que l’autre; donc ils sont égaux.

Ainsi, la question est ramene'e à rechercher le plus grand commun diviseur entre 276 et 84 , nombres qui forment un système plus simple que 36 o et 276.

Pour cela , raisonnons sur 276 et 84 comme nous avons raisonné sur les nombres primitifs ; c’est-à-dire, essayons la division de 276 par 84 ; alors , si la division se fait exactement , 84 sera le plus grand commun diviseur entre 276 et 84 , et par conséquent , entre 36 o et 276.

En effectuant cette nouvelle division, on a 3 pour quotient et 24 pour reste ; donc 84 n’est pas le plus grand commun diviseur cherché. Mais, par un raisonnPment analogue à celui qui a été fait ci-dessus , on prouvera que le plus grand diviseur commun à 276 et à 84, est le même que celui qui existk entre le premier reste 84 et le second 2.4.

Répétons ce raisonnement : le plus grand commun diviseur entre 276 et 84, devant diviser 84 , divise nécessairement son multiple 3 fois 84 (n° 81 , 1" principe)-, ainsi, divisant un tout 276 et l’une de ses parties , 3 fois 84 , il divise l’autre partie 24 ; donc déjà , le plus grand commun diviseur de 276 et 84 , ne saurait surpasser celui de 84 et 24. D’un autre côté, le plus grand diviseur commun entre 84 et 24. divisant 3 fois 84 et 24 , qui sont les deux parties de 276 , divise nécessairement 276; ainsi, divisant 84 et 276, il ne peut surpasser le