UU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

plus grand diviseur commuais 8/| et à 276. Le plus grand commun diviseur de 276 ut 84 , et celui de 84 et 24 , ne peuvent donc être plus grands l’un que l’autre ; donc ils sont égaux.

La question étant actuellement ramenée à rechercher le plus grand diviseur commun à 84 et 24, il faut de même diviser 84 par 24. En effectuant cette nouvelle division, on obtient 3 pour quotient et 12 pour reste; donc 24 n’est pas le plus grand diviseur commun ; mais , comme ce plus grand commun diviseur est le même que celui qui existe entre 24 et le reste 12, divisons 24 par 12; nous trouvons un quotient exact 2 ; ainsi 12 est le plus grand commun diviseur entre 24 et 12; il l’est donc aussi entre 84 et 24, entre 276 et 84 , entre 36 o et 276. Donc enfin , 12 est le plus grand commun d i vis eur cherc h é .

Dans la pratique , on dispose ainsi l’opération :

3 lio

Après avoir divisé 36 o par 276, ce qui donne pour quotient 1, qu’on place au-dessus du diviseur (au lieu de le placer au-dessous comme à l’ordinaire) , et pour reste 84 , on écrit ce reste à la droite du plus petit nombre 276, et l’on divise 276 par 84 ; on obtient un nouveau quotient 3 que l’on place au-dessus du diviseur 84, et un reste 24 qui s’écrit à la droite de 84 ; er ainsi de suite.

Règle générale. — Pour trouver le plus grand dùriseu r commun à deux nombres, divisez le plus grand nombre par le plus petit j s’il riy a point de reste, c’est le plus petit nombre qui est le plus grand commun diviseur.

A S’il y a un reste, divisez le plus petit nombre pur ce reste ;

et si la division se fait exactement , c'est ce premier reste qui est le plus grand commun diviseur.

Si cette seconde division donne un reste, divisez le premier reste par le second ; et continuez toujours à diviser par le dernier reste le reste précédent , jusqu’à ce que vous obteniez

!>U PLUS CI'.AVU COMMUN DtVISEUB. '3

un quotient exact; alors lu dernier diviseur que vous aurez employé , sera le plus grand commun diviseur cherché.

Si le dernier diviseur se trouve être l’unité , c’est une preuve que les deux nombres proposés sont premiers entre eux (n°tfi), puisqu’ils n’ont pas d’autre diviseur commun que l’unité.

Réciproquement , si deux nombres proposés sont premiers entre eux , et qu’on leur applique le procédé , on trouvera nécessairement un dernier reste égal à i. Car, d’après la nature du procédé, les restes vont en diminuant; d’ailleurs, on ne peut pas obtenir un reste nul avant d’avoir obtenu un reste égala i, puisque le diviseur autre que l’unité, qui donnerait ce reste nul, serait commun diviseur des deux nombres. Ainsi, l’on doit nécessairement , après un nombre d’opérations plus ou moins grand, obtenir l’unité pour reste.

iîô. Voici de nouvelles applications de ce procédé :

Réduire à sa /dus simple expression la fraction .

Appliquons aux deux nombres 592 et 999 le procédé qui vient d’être indiqué.

A I très avoir trouvé le nombre le plus grand qui les divise à la fois , nous effectuerons leur division par ce nombre; et nous obtiendrons la fraction demandée.

5qa '

On trouve 37 pour plus grand commun diviseur; ainsi, en

divisant 999 et 092 par 07, on a - - pour la traction réduite A ses moindres termes. *

Soit, pour nouvel exemple, la fraction