Soit, pour dernier exemple, la fraction g
«HS
Le proce'dé conduit, dans cet exemple, à un reste égala 1 ; ce qui prouve que 8^3 et 3i^ sont deux nombres premiers entre eux ; dans ce cas, la fraction est dite irréductible, comme ne pouvant être ramenée à une expression plus simple au moyen de la division de ses deux termes par un même nombre.
Remarque. — A la troisième opération , on a obtenu le reste 5 qui est un nombre premier (n° 51) ; or, comme 5 11 e divise pas le reste précédent 78 , on est en droit, sans qu’il soit nécessaire d’allerplus loin, de conclure que les deux termes de la fraction sont premiers entre eux. En effet, on a reconnu, dans la démonstration du procédé, que le plus grand commun diviseur de deux nombres divise nécessairement le reste de chaque division. Ainsi, 5 étant un nombre premier, il doitarriver l’une de ces deux choses : ou bien 5 divise le reste précédent, et c’est alors le plus grand commun diviseur; ou bien il ne le divise pas, et dans ce cas, ni 5, ni aucun nombre autre que l’unité, 11 c peut être un diviseur commun aux deux nombres.
En général , dès qu’on parvient, dans le cours des opérations, h un reste que l’on sait être un nombre premier, si ce reste ne divise pas le reste précédent , on est certain que les deux nombres proposés sont premiers entre eux ; et il est inutile d’aller plus loin.
Nous reviendrons ( chap . V ' ') sur la recherche du plus grand
AUDITION Ut S FH ACTIONS. 7 5
commun diviseur, recherche qui est une des opérations les plus importantes de l’Arithmétique.
Passons actuellement aux quatre opérations fondamentales sur les fractions.
Addition des fractions.
83. L’addition des fractions a pour but de trouver un seul nombre rjui ait la même valeur que plusieurs fractions réunies.
Il peut se présenter deux cas : ou les fractions qu’on doit additionner sont de même espèce , c’est-à-dire ont même de-* Dominateur; ou bien elles sont d’espèces différentes. Dans le premier cas , on fait la somme des numérateurs , puis on donne à cette somme le dénominateur commun. Dans le second , on commence par réduire les fractions au même dénominateur, d’après la rèjjle du n° 47 , et l’on opère ensuite sur les nouvelles fractions comme il vient d’être dit.
Ainsi, la somme des fractions — , —, — , est écale à — .
ii ii ii ii
De même, la somme des fractions
efialea-.
Ô > O » CSX
Soient maintenant n ajouter les trois fractions -, 2
Après avoir réduit ces fractions au même dénominateur, d’après la rèple du n° 47, on fait la somme des numérateurs, ce qui donne 220; puis on donne à 220 le dénominateur 96, et
l’on trouve pour la somme demandée.
86. Ce dernier exemple conduit à un résultat besoin d’être interprété.
qui a
ni't ADDITION DES FRACTIONS.
De même qu’il faut deux moitiés , trois tiers, quatre yuans, cinq cinquièmes, pour former l'unité , de même il faut quatrevingt-seize quatre-vingt-seizièmes pour la former ; donc, autant
de fois 220 contiendra 96, autant d’unités il y aura dans
Ainsi , comme en divisant 220 par 96, on a pour quotient 2 et
pour reste 28, il s’ensuit que —g- est un nombre fraction—
naire ( n° Il composé de 2 unités plus une fraction -7; ou
(en ôtant le facteur 4 commun aux deux termes).
En général , toutes les fois qu’on parvient à un résultat de forme fractionnaire, et tel, que le numérateur est plus grand que le dénominateur, alors , pour extraire l’entier contenu dans cette expression , on divise le numérateur par le dénominateur : le quotient représente l’entier, et le reste est le numérateur de la fraction qui doit être ajoutée à l’entier.
,2 ~ T2’ 75~ et5a a io 75
On trouvera par ce moyen , — égal à 1 — ; —
OH,0 5 ; % e « ala ’8^
Réciproquement, lorsqu’on a un entier joint à une fraction, pour en former un seul nombre fractionnaire, ce qui •est souvent utile, il faut multiplier l'entier par le dénominateur, ajouter au produit le numérateur, et donner à la somme le dénominateur de la fraction proposée.
5 ’ oua l 5M ,1
. 2 3 fois 5 . 2
Par exemple, 3 ^ revient a — g — plus
. . . 1 32 , n . 1 3 o „ 1 n . . , 2oq
est égal a plus — , ou a — - ; o —, est égal a — f-,
Soustraction des fractions.
S 7 . La soustraction des fractions a pour but de trouver l’excès d’une plus grande fraction sur une plus petite.
Si les deux fractions ont meme dénominateur, on retranche
soustraction of.s fractions.
le plus peut numérateur du plus grand , et l’on donne à la différence le dénominateur commun. Si clics n’ont pas même dénominateur, on les y réduit , et l'on opère ensuite comme il vient d'être dit.
Ainsi , etc — soit a soustraire — , il reste — ou De meme.
de 6 lez il reste — ou — . a/j 24 24 12
Soit maintenant à soustraire 5 de L
, , , lü 21
• es deux tractions reviennent respectivement a — ; et — ;
ce (|ui donne — pour leur différence. On trouve parcille-
ment que si de la traction — on ôte — , il reste
On peut avoir un entier joint à une fraction, à retrancher d’un entier joint à une fraction.
Par exemple, du nombre fractionnaire. i 3 . .= 2 . .
on propose de retrancher le. nombre
Pour effectuer celle opération, l’on commence par réduire les lieux fractions au même dénominateur, ce qui donne pour
la première, et g— pour la seconde. Ensuite, comme on ne
peut soustraire g-^ de gg, 011 ajoute (11 0 14 ) à cette dernière vaction une unité qu’on réduit, avec eu un «cul nombre
fractionnaire ( récip . n° t$C); et l’on obtient g—, dont on sous-
soustraction des tractions.
trait ce qui donne pour reste g-'. Passant à la soustraction
des entiers , on augmente d’une unité le nombre entier inférieur, et l’on dit : 6 de i3, il reste 7; donc, le résultat demandé est r — , connue on le voit ci-dessus.
58. Voici une question où se trouvent réunies une addition et une soustraction de nombres entiers joints à des fractions : Ln marchand dediapa vendu à diffe rentes fois, sur une
pièce d’étoffe renfermant 3o mètres + , savoir: 7“-. 9" ^ «
1 1“ — ; il désire connaître ce qui doit lui rester de son étoffe.
Il fera d’abord la somme des trois nombres de mètres vendus; puis il soustraira cette somme de 30* l : le résultat de la sous-
traction doit représenter la longueur du reste de l’étoffe.
Pour plus de simplicité, il convient de disposer ainsi l’opération :
Après avoir placé les uns au-dessous des autres les trois nombres à ajouter, on observe que les fractions qui en font partie peuvent être réduites au même dénominateur 12. O11 place ce nombre à la droite , un peu au-dessus des fractions, et on le souligne. Ensuite, on écrit au-dessous de 12 et respectivement sur la même ligne horizontale que les trois fractions.
MULTIPLICATION OLS FRACTIONS.
les quotients 3 , 4 , et i , résultant Je la division de 1 2 "par chacun
des dénominateurs ; après quoi l’on multiplie les numérateurs
de ces fractions par 3 , 4 , <“t i , ce qui donne 9, 8, et 5 ; on fait la
somme 22 de ces trois nouveaux numérateurs , ce qui donne
pour la somme des trois tractions, — ,011 1 — . Un écrit — au- 1 12 12 12
dessous îles trois fractions, et l’on retient 1 pour le reporter
à la colonne des parties entières qu’on ajoute à la manière
ordinaire: il vient alors 28 — pour la somme des trois nombres
de mètres vendus.
O11 place celte somme au-dessous de 3 o -, et l’on effectue
la soustraction romine il a été indiqué précédemment, et en observant que les deux fractions peuvent être réduites au même dénominateur, 2 fois 12, ou 24.
O11 trouve enfin 2 mètres pour le reste de la pièce d’étoffe ;
ce que le marchand peut aisément vérifier en mesurant le coupon restant des trois ventes.
Multiplication des fractions.
i> 9 . La multiplication a en général pour but (u° 9 ), deux nombres étant donnés , de former un troisième nombre qui se compose avec le premier de la même manière que le second se compose avec l'unité.
Cela posé , on distingue trois cas principaux dans la multiplication des fractions. On peut avoir :
i°. Une fraction a multiplier par un entier.
Soit, par exemple , — à multiplier par 5 .
D’après la définition ci-dessus , puisque le multiplicateur 5 contient 5 fois l’unité , il s’ensuit que le produit doit être égal
à 5 fois — , ou doit être 5 fois plus grand que — . Or, on a vu (n“ 4 ü) qu’on rend une fraction 5 fois plus grande en mulli-
8<> multiplication oes fractions.
5 lois n 35
pliant son nuinci'atcur par 5 ; il viendra ainsi ou ■ —
pour le produit demandé.
Donc, pour multiplier une fraction par un entier, il faut multiplier le numérateur par l'entier, et donner au produit le dénominateur de la fraction.
. . . 35 , ii
Le produit — revient d ailleurs a 2 — , comme on peut 12 12 r
le voir eu extrayant l’entier contenu dans la fraction (11° S6).
On trouvera de même que le produit de — f par 29 est éga 1
! 3 77 C '7 a — — ■ ou i5 24 24
Soit encore à multiplier -g par 9. Il vient d’abord, d’après la règle, 2 g pour le produit , ou , si l’on extrait l’entier, 5 ,
c’est-à-dire 5
Ce résultat pouvait être obtenu plus simplement : car, pour
multiplier par 9, ou peut (n° 4 i>;, au lieu de multiplier le
numérateur par 9, diviser le dénominateur par 9, ce qui donne
11 c 1 — ou 5
Ce qui rend cette manière d’opérer applicable à l’exemple proposé, c’est que le dénominateur est divisible par le multiplicateur; or ceci n’arrive pas toujours, tandis que la règle établie d’abord est toujours applicable : l’usage seul peut rendre familières ces sortes de simplifications.
2°. Un entier a multiplier par une fraction.
Soit à multiplier 12 par-.
Puisque, dans ce cas, le multiplicateur ï est égal à A fois
le f de l’unité, le produit doit être égal lui-même à 4 fois
