MULTIPLICATION UES NOMBRES COMPLEXES

multiplicateur avait plusieurs chiffres, les mêmes déterminations ne pourraient plus s’exécuter de tête; et pour y parvenir, il faudrait faire à part des multiplications, ensuite des divisions , afin de convertir les espèces inférieures en espèces supérieures, ce qui demanderait beaucoup de calcul. Dans ce cas, l’opération se fait d’une manière plus simple , ainsi qu’on va le voir sur l’exemple suivant.

Multiplier le nombre 784"" i5 J ' g* 1

par. .*. . . 857

pour 1 o r .... .

io J

iy r 9 *

Après avoir effectué la multiplication de 784 par 857 comme à l’ordinaire, on passe à la multiplication de i5 sous par 857. Pour obtenir sur-le-champ ce produit en livres, on observe que , si l’on avait 1 livre à multiplier par 857, le produit serait

857 livres; mais |5 sous, ou — de livre , 11e sont que les trois

quarts de la livre; ou bien, étant décomposés en 10 sous et 5 sous, ils en sont la moitié plus le quart ; donc le produit demandé se compose de la moitié de 857 livres , plus le quart de 857 , ou,' ce qui revient au même, plus la moitié de la moitié de 857 livres. Ainsi l’on dira: pour 10 sous, la moitié de 857 livres est 428 ( voyez n°5i), et il reste 1 livre qui vaut 20 sous; la moitié de 2o- r est lo-*"; et l’on obtient 4 2 8 *io j pour le produit de 10 sous par 857.

Prenant maintenant la moitié de 4 2 &* io r , on a 214* 5- r pour le produit de 5 sous par 857.

Passant aux deniers, on remarque que 9 deniers sont décomposables en 6 deniers plus 3 deniers; or 6 deniers sont la

MULTIPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES. Io 5

moitié d’un sou , et par conséquent , la moitié du 5 * ou le io" de 5 sous; donc le produit de 6 deniers par 85 ^ est le io e du produit précédent, ou de 214* 5 S . Prenant d’abord le 10' de 214,011 a pour quotientai, et pour reste 4 livres, qui valent 4 fois 20 , ou 80 sous, que l’on réunit aux 5 sous ; le 10' de 85 est 8 sous, et il reste 5 sous qui valent 5 fois 12 , ou 60 deniers ; enfin , le 10* de 60 est 6 ; et l’on a 21* 8 X 6* pour le produit de 6 deniers par 85 ^.

Pour obtenir le produit de 3 deniers par 85 ^, il suffit de prendre la moitié du produit précédent , et l’on trouve io # 1 4 J ' 3 »\

Soulignant le tout, et faisant la somme des produits partiels, 011 obtient 672562*' ij- r g* pour le produit total.

Cette manière d’obtenir les produits des subdivisions de l’unité principale du multiplicande, par le multiplicateur, s’appelle méthode des parties aliquotes , parce qu’elle consiste à décomposer les nombres d’unités de ces subdivisions en parties aliquotes , soit de l’unité principale , soit les unes des autres , c’est-à-dire ( n° 81 ) en parties qui soient respectivement contenues un nombre exact de fois les unes dans les autres ; et alors , pour former un produit correspondant à l’une de ces parties aliquotes , on prend de l’un des produits qui précèdent, une partie marquée par le nombre de fois que la partie aliquote que l’on considère est contenue dans la partie qui a fourni ce produit déjà obtenu.

Soit, pour nouvel exemple,

à multiplier 6^ T 5 P 6e 5 l

par 5 g

(wjf

pour 3 P

it

4ocj T

loti MULTIPLICATION DLS NOMBRES COMPLEXES.

Pour obtenir le produit de 5 pieds par 5g, on observe que 5 pieds se décomposent en 3 pieds, qui valent i toise, plus

2 pieds, qui valent ~ de toise ; donc, comme le produit de i toise

par 5g serait 5g toises , celui de 5 pieds par 5g se composera de la moitié de 5g toises , plus le tiers de 5g; prenant d'abord la moitié de 5g toises, on obtient 2g, et il reste i toise, qui vaut 6 pieds, dont la moitié est 3 pieds ; ainsi , le produit de 3 pieds par 5g est ag T 3 P . De même , le tiers de 5g est ig pour S’j, et il reste a toises, qui valent 12 pieds, dont le tiers est 4 ; on a donc ig T 4 P pour le produit de 2 pieds par 5g.

Passant aux pouces, on observe que 6 pouces sont la moitié d’un pied, ou le quart de 2 pieds; aiusi, pour obtenir le produit de 6 pouces par 5g, il suffit de prendre le quart du produit ig T 4 P ; ce qui donne 4 T 5 P 6?.

Maintenant, 5 lignes se décomposent en 4 lignes plus 1 ligne ; et comme 4 lignes sont le tiers d’un pouce, qui lui-même est le 6 e de6 pouces, il s’ensuitque 4 lignes valent le liera du 6* ou le 18' de 6 pouces ; ainsi , on serait conduit à prendre le 18* de 4 T 5 P 6 p, ce qui ne serait pas commode ; mais on peut lever cette difficulté en formant un produit auxiliaire ( improprement appelé faux produit), savoir le produit de 1 pouce par 5g. Or, ce produit est le 6' de 4 T 5 P 6 |> , ou o T 4 P ii p ; on le place au-dessous des autres produits, en ayant soin toutefois de le barrer, comme on le voit dans le tableau précédent, parce qu’il ne doit pas entrer en ligne de compte; après quoi , en prenant le tiers de ce produit, on obtient celui de 4 lignes par 5g , égal à o T 1 p >jP 8*.

Enfin, 1 ligne étant le quart de 4 lignes , on prend le quart du dernier produit , et l’on trouve o T o p 4 P 1 1*.

Additionnant tous les produits partiels, on obtient pour le produit total , 4007 1 ’ 2 P 6 p 7 1 .

76. Considérons actuellement le cas où le multiplicateur est lui-même un nombre complexe. Mais prenons d’abord un exemple qui ne soit pas trop compliqué.