DIVISION DES TRACTIONS DÉCIMALES

nombres proposés au même dénominateur (n°07); effectuez ensuite la division en faisant abstraction de la virgule ; vous obtenez ainsi le quotient demandé.

Soit à diviser /J 3 ,o 4 'J par 2,53698.

Je commence par écrire deux zéros à la droite de 43,047, ce qui donne 1767720 43,04700 ; puis je divise 4304700 par 245532 253698, et j’obtiens, pour le véritable . r 245532 ( l U0l,ent ’ ,6 Î53%8-

En effet, après avoir écrit deux zéros à la droite du dividende, ce qui n’en change pas la valeur, on peut mettre les

deux nombres proposes sous la tonne - — -- — et — .

Or, pour diviser le premier parle second, on doit (n°62) multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée. On aura donc, en observant que 1 00000 est facteur commun

43o47oo

des deux termes, le résultat

253698 ; C ’ eSt ' i ' duC ? u7/ f aUi

faire la division sur les deux nombres considérés sans les virgules, apres avoir toutefois ramené le nombre des chiffres décimaux à être le même de part et et autre.

On peut dire encore que , les deux fractions décimales étant réduites au même dénominateur, si l’on ôte la virgule dans les deux termes , on rend le dividende et le diviseur le même nombre de fois plus grands; donc, le quotient ne change pas (n° 45).

On trouvera par ce procédé, que le quotient de la division de 3,47 o 3 par 0,027, i43

est 1 28

Celui de o,5g6par 0,00201 est 296

91. Dans les exemples précédents, on a obtenu facilement la partie entière du quotient de la division ; mais les fractions propres à compléter le quotient, ayant des ternies très-grands,

RÉDUCTION d’une FKACT. ORDINAIRE EN EHACT. DÉCIMALE. I 9.C)

sont difficiles à évaluer. 11 est alors naturel de chercher à exprimer cette fraction en parties plus simples de l’unité principale , par exemple, en dixièmes, centièmes, millièmes, etc... Proposons-nous donc cette nouvelle question générale : Une fraction quelconque de l’unité principale d' une certaine nature étant donnée , évaluer cette fraction en décimales , ou bien , la convertir en fraction décimale.

Soit proposée d'abord la fraction

3io ■

Le nombre proposé, étant rapporté à l’u nité principale, exprime les ^ de cette uni-

té; mais , comme une unité simple vaut 10 j5 n

dixièmes , il s ensuit que -7— revient a —, —

de dixième ; ainsi, lorsqu’on a disposé

les deux nombres i3 et 47 comme dans

la division ordinaire , si l’on met d’abord

un zéro au quotient pour tenir lieu des

entiers, que l’on place une virgule, et qu’on divise i3o par 47,

le quotient 2 ainsi obtenu , et écrit à la droite de la virgule ,

représente le nombreded/ariémer contenus dans ; c’est-à-dire que ^ est égal à 2 dixièmes, plus ~ de dixième. Pareillement ,

comme 1 dixième vaut 10 centièmes, il s ensuit que y- de

3ôo

dixième est égal à - — de centième, ou, effectuant cette nou-

velle division, à 7 centièmes, plus 7- de centième. En écri-

vant un nouveau o à la droite de 3i, et divisant 3io par 47, on trouve pour quotient 6 millièmes que l’on écrit à la droite des deux chiffres précédents, et pour reste 28 à côté duquel on pose un nouveau o pour en faire des dix-millièmes • ainsi de suite. En poussant l’opération jusqu’à ce qu'on ait obtenu 5 chiffres Arith. D. 9

r3o RÉDUCTION D UNE FRACTION ORDINAIRE

décimaux , on trouve que ^ équivaut à 0,27659, plus de

ve.nl- millième, fraction qu’on peut négliger; et l’on dit alors

que 0,27659 est la valeur de^ à moins d'un cent- millième

près, attendu que la fraction négligée est moindre que l’unité de cet ordre.

En général, pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale, disposez les deux nombres comme dans la division j écrivez un o au quotient, et à la droite de ce zéro une virgule. Cela posé, mettez un o à la droite du numérateur, et divisez le nombre résultant par le dénominateur j vous obtenez un quotient qui exprime les dixièmes , et un certain reste. Placez uti o à la droite de ce reste , et divisez le nombre résultant par le dénominateur j vous obtenez un quotient qui exprime les centièmes, et un nouveau reste ; écrivez un o à la droite de ce reste, et divisez le nombre résultant par le dénominateur ; vous obtenez un quotient qui exprime les millièmes , et un troisième reste sur lequel vous opérez delà même manière. Enfin, vous continuez cette série d’opérations jusqu’à ce que vous ayez obtenu autant de chiffres décimaux que vous désirez en avoir, ou que la question l’exigé. S’il y a un reste, Infraction décimale que vous obtenez ainsi , ne diffère de la fraction proposée que d’une quantité moindre que l’unité de l’ordre décimal auquel vous avez arrêté le quotient.

Si le numérateur de la fraction est plus grand que le dénominateur, vous commencez par extraire les unités ; vous les écrivez au quotient, et vous posez une virgule pour les séparer des ebiffres-de la partie fractionnaire.

11 est aisé d’apercevoir l’analogie qui existe entre cette opération et celle qui a pour objet de convertir un nombre fractionnaire d’une unité principale quelconque, en un nombre complexe, c'est-à-dire, en unités principales et subdivisions de cette unité. ( Voyez n° 70.)

Nous allons maintenant faire l’application de cette règle aux exemples de division traités dans le numéro précédent.

KN FRACTION DÉCIMALE. 1 3 I

Soit proposé de diviser 43 ,o 47 par 3,53698, et d’évaluer le

quotient à moins de — - — près.

iooo x

Après avoir trouvé , comme précédemment, le quotient 16 avec le reste 245532, 011 considère ce reste comme le numérateur d’une fraction dont le dénominateur est 2.53698; et alors on écrit un o à la droite de ce reste ; puis on continue la division , ce qui donne 9 dixièmes pour quotient, et pour reste 172038, à la droite duquel on écrit encore un o; puis on divise le résultat par le même diviseur ; on obtient pour quotieui 6 centièmes, et pour reste 198192, à côté duquel on place un o; on divise de nouveau par le même diviseur, ce qui donne pour quotient 7 millièmes , avec un reste qu’on néglige.

On obtient ainsi 16,967'' pour le quotient à moins de —

près, puisque la quantité négligée est une fraction de millième.

On trouverait «gaiement pour le quotient de kt division de 34703 par^o,o27 à moins de 0,0001 près, i28,52g6.

De même* 0,596 divisé par 0,00201 donne pour quotient à moins de 0,0 1 près , 296, 5 1 .

Nous reviendrons plus tard, v* chapitre, sur la conversion d’une fraction ordinaire en fraction décimale, parce que celte opération présente plusieurs propriétés remarquables que nous ne pouvons développer d’une manière complète pour le moment.

92 . Lorsque, dans la division, le diviseur est un nombre entier, ou renferme moins de chiffres décimaux que le dividende, au lieu d’écrire à sa droite des zéros pour le réduire au même dénominateur que le dividende, il est plus simple d’opérer ainsi qu’on va le voir.