partie commune ab , et la partie bm du second numérateur est
plus grande que la partie am du premier, puisque l’on a b~>a.
Donc aussi, la seconde fraction est plus grande que la première.
Ainsi , l’on augmente la valeur d'une fraction en ajoutant un
même nombre à ses deux termes.
La vérité de la proposition exige d’ailleurs , comme on le
applications
voit par le raisonnement précédent , que ^ soit une fraction
proprement dite, ou que l’on ait a <^b ; si au contraire on avait « > b , la relation aurait lieu dans un ordre inverse, puisque alors on aurait ab bm <^ab -H ont.
A r . B. — Ce moyen de démonstration , rigoureux et général
tant que les nombres sont désignés par des lettres, cesserait
de présenter ce caractère si l’on voulait l’appliquer à des
nombres particuliers. Par exemple , que l'on ait la fraction
— , et qu on ajoute 3 unîtes a ses deux termes , il vient — .
Réduisant ces deux fractions au même dénominateur, on ob-
o fi o j55
tient, pour la première, et pour la seconde,
On voit bien ici que la seconde fraction est plus grande que la première ; mais rien ne prouve que ce qui a lieu dans cet exemple particulier aurait également lieu dans tout autre.
La démonstration exposée u" 49 est, d’après la nature de ses raisonnements , aussi générale que celle qui vient d’être donnée ; mais celle-ci , quoique moins élégante peut-être , a l’avantage d’être plus concise; la voici réduite à ses moindres termes :
Soient r et les deux fractions que l’on veut com-
parer.
Réduisons-les au même dénominateur; il vient
ab
et
b 1 + bm
^ ; or, par hypothèse , on a a<^b , d’où am <^bm\
donc , ab -f- am <^ab -h bm ; ainsi , la seconde fraction est plus grande que la première.
2°. On demande le produit de la somme de deux nombres, multipliée par la différence de ces mêmes nombres ?
Soient a et b les deux nombres proposés; leur somme sera exprimée par {a -j- b ) , et leur différence par (a — b).
Or, si l'on effectue la multiplication de a+b par a — b, d’après
OKS RÈGLES PRÉCÉDENTES. 1 5()
les règles du n° H2, on a pour produit, a * — ab + ai — b 1 , ou, omettant les deux tenues — ab,+ab , qui se détruisent, a' — 6 * ; donc . . . . (a ■+■ b) (a — b) — a? — b'.
Ce qui prouve que la somme de deux nombres quelconques , multipliée par leur différence, donne toujours pour produit la différence de leurs carrés ou secondes puissances .
Exemple. — Soient les deux nombres a 5 et 12 ; leur somme est 37, et leur différence 1 3 ; multipliant 37 pari 3 , on a pour produit 481.
D’un autre côté, 9 . 5 X *5 donne 625 ; 12 X 12 donne 1 44 î d’où... (a 5 )* — (i 2 )*= 48 t-
Donc ( 25 -f- >2 ) (9.5 — t2)~ ( 25) 1 — (12)*.
Ces derniers raisonnements 11e sont qu’une vérification de la propriété, effectuée sur deux nombres particuliers; tandis que ceux qui précèdent forment une démonstration rigoureuse et générale, puisque les nombres y sont désignés par des lettres auxquelles on peut attribuer toutes les valeurs possibles.
Les questions précédentes suffisent pour mettre les commençants en état d’apprécier les avantages qui résultent de l’emploi des lettres pour représenter les nombres. Par leur usage, non-seulement on rend les raisonnements plus généraux et souvent plus concis, mais encore on conserve la trace des opérations à effectuer sur les nombres qui entrent dans l’énoncé de la question, et qui ne peuvent ainsi se fondre les uns dans les autres comme lorsqu’on opère sur des nombres particuliers.
Ces notions étant établies , nous aliont revenir sur nos pas, c’est-à-dire reprendre quelques-uns des objets traités dans la première partie, pour les approfondir davantage ; nous parviendrons ainsi à de nouvelles propriétés , et à des moyens de modiGer ou de simplifier les procédés des diverses opérations de l'Arithmétique.
THÉORIE GÉNÉRALE
$ I”. Théorie des différents systèmes de numération.
116. Nous avons vu (n° 8) comment, à l'aide de dix caractères ou chiffres , on parvient à repre'senter tous les nombres, en partant de ce principe de convention , que tout chiffre placé à la gauche d’un autre, exprime des unités dix fois plus grandes que celles de cet autre chiffre. Nous nous proposons maintenant de faire voir qu’on peut également écrire tous les nombres avec plus ou moins de dix caractères, pourvu qu’il y en ait au moins deux, et que le zéro en fasse partie.
On appelle , en général, base d’un système de numération, le nombre des chiffres qu’on emploie. Le système où l’on fait usage de deux chiffres, se nomme système binaire, celui où l’on en considère trois'; système ternaire , etc.
Dans tout système de numération analogue au système décimal , on convient que tout chiffre placé à la gauche d’un autre exprime des unités autant de fois plus grandes, par rapport à celles de cet autre chiffre, qu’il y a d’unités dans la Base, c’està-dire dans le nombre des chiffres du système. Ainsi, dans le système binaire, les unités de chaque chiffre acquièrent des valeurs de deux en deux fois plus grandes à mesure que l’on recule d’un , de deux , de trois. . . . rangs vers la gauche; dans le système ternaire , les valeurs des unités de chaque chiffre sont de trois en trois fois plus grandes; et, en général, dans un système dont la base est B\, les unités de chaque chiffre acquièrent des valeurs de B en B fois plus grandes, à mesure que l’on recule de droite à gauche.
Lorsqu’un nombre est écrit dans le système dont la base est B, le premier chiffre à droite exprime les un i tés d u premier ordre, le chiffre immédiatement à gauche, les unités du second ordre , le chiffre à gauche de ces deux-là, les unités du troisième ordre, et ainsi de suite. Il faut B unités du premier ordre pour former l’unité du second ordre, B unités du second ordre pour former l’unité du troisième ordre , etc.
