DES SYSTÈMES UE NUMÉRATION
chiffres un nombre entier, quel que soit lesyslème qu’on adopte. Pour hxer les idées, nous considérerons le système septénaire, ou le système dans lequel on emploie sept chiffres. Les mimes raisonnements pourront s’appliquer ensuite à tout autre système. ' J '
Les chiffres du système septénaire sont o , i , a , 3 , 4 5 g .
les six derniers exprimant les six premiers nombres. ’ ’ ’
Ajoutant l’unité à six, on forme le nombre sept, ou l’unité du second ordre, qui, d’après le principe énoncé ci-dessus doit s’écrire 10. ’
Mettant successivement chacun des chiffres du système à la première et à la deuxième place, on formera évidemment tous les nombres consécutifs, compris depuis sept, ou 10, jusqu’au nombre représenté par 66. 1
Ce nombre étant formé, si l’on ajoute une nouvelle unité il en résultera s,x unités du second ordre, plus sept unités du premier , c’est-à-dire sept unités du second ordre, ou une seule unité du troisième ordre, qui devra s’écrire ainsi: ioo.
Mettant successivement à la première, à la seconde, et q la troisième place, les différents chiffres du système, on formera tous les nombres consécutifs compris depuis ioo jusqu’au nombre représenté par 666.
Kaisonnant sur ce dernier nombre comme sur 66 , on parviendra d’abord à l’unité du 4- ordre qui s’écrira ainsi : tooo ; puis on obtiendra successivement tous les nombres consecuüfs compris depuis 1000 jusqu’au nombre représenté par f)()6b y et ainsi de suite à l’infini.
D’ou l’on voit que tous les nombres entiers possibles sont susceptibles d’être écrits dans ce système.
Quel que soit le système adopté, les unités de différents 01 arcs sont respectivement représentées par 1, ,0, ,00, ,000, ,„ooo comme dans le système décimal ; mais les valeurs relatives dé ces unités sont essentiellement différentes suivant les systèmes.
418 . IV. êî. —Nous avons dit, n* 116, que le chiffre o était un caiaclère indispensable dans tout système analogue au système
décimal, c’est-à-dire dans un système où la valeur relative d’un Arith. li.
THÉORIE GÉNÉRALE
chiffre dépend du rang qu’il occupe à la gauche de plusieurs autres. A la rigueur, on pourrait s’en passer; mais le système serait moins régulier, comme nous allons le voir.
Soit proposé, par exemple, d’établir le système ternaire, en adoptant les trois chiffres significatifs 1, 2 , 3 .
Les trois premiers nombres seraient d’abord exprimés par ces chiffres.
Pour représenter quatre, cinq et six, il suffirait d’écrire 1 1 , 12, i 3 .
Pour exprimer sept, huit, neuj , dix, onze, douze, ou écrirait 21, 22, 23 , 3 i , 32 , 33 .
De même ni, 112, 1 1 3 , 121, 122, 123 ,
exprimeraient treize, quatorze, quinze, seize, dix-sept, dix-huit.
Il n’est pas nécessaire d’aller plus loin pour sentir les inconvénients de ce système. Son principal défaut consiste en ce que des unités d’un même ordre sont exprimées d’une manière différente. Ainsi , dans 1 3 et 2.3 , le chiffre 3 exprime une unité du second ordre , comme les chiffres 1 et 2 qui sont à sa gauche. Dans 123 , l’ensemble des chiffres 2.3 exprime neuf , ou l’unité du troisième ordre , ainsi que le chiffre 1 qui est à la gauche de ces deux-là.
En faisant usage du chiffre o, il suffit de déterminer les nom— lues d’unités de différents ordres qui entrent dans le nombre proposé, et d’écrire à la suite les uns des autres , de droite à gauche, les chiffres qui expriment ces nombres.
lit). L 'accord qui existe entre la nomenclature actuelle des nombres et la manière de les représenter en chiffres dans le système décimal, permet de les- écrire facilement, et pour ainsi dire , sous la dictée en langage ordinaire, 'comme aussi de résoudre la question inverse qui consiste à énoncer en langage ordinaire un nombre quelconque représenté par un groupe de chiffres donné. Il en serait de même dans tout système de numération pour lequel on aurait établi une nomenclature spéciale. Mais si l’on proposait, par exemple , d’écrtVe dans le système septénaire le nombre trois cent soixante-neuf rap-
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porté au système décimal , il serait difficile de reconnaître à priori quels sont les chiffres propres à exprimer les unités du
premier, du second, du troisième ordre septénaire qu’il
renferme. Or, comme ce nombre, écrit en chiffres dans le système décimal, revient A 36g, il s’ensuit que la question proposée dépend de la suivante qui est beaucoup pins générale : Un nombre étant énoncé en langage ordinaire, ou écrit dans le système décimal , traduire ce même nombre dans le système dont la base est B.
Pour résoudre cette dernière question, observons que, B unités du premier ordre formant une unité du second, autant de fois le nombre proposé contiendra la base B , autant il renfermera d’unités du second ordre du système Ii; c’est-à-dire que , si l’on divise ce nombre par B, le quotient exprimera des unités dit second ordre ; et le reste, qui sera nécessairement moindre que B, exprimera les unités du premier ordre , du nombre écrit dans le système dont la base est B.
De même, puisque B unités du second ordre, dans le système B, forment une unité du troisième ordre dans ce même système, si l’on divise par B le quotient qui exprime des unités du second ordre, le nouveau quotientqu’on obtiendra, exprimera des unités du troisième ordre; elle reste, toujours moindre que B, représentera les unités du second ordre, du nombre écrit dans le système dont la base est B ; et ainsi de suite.
D’où l’on voit que, pour passer du système décimal au système dont la base est B, il faut : i°. diviser le nombre proposé par la buse du nouveau système écrite dans le système décimal, ce qui donne un reste que l'on écrit à part , comme exprimant les unités du premier ordre dans le nouveau système ; 2 °. diviser le quotient obtenu, par la même base , ce qui donne un second reste qu’on écrit à la gauche du premier, comme exprimant les unités du second ordre j 3°. diviser le second quotient par la même base , et écrire le troisième reste qu’on obtient ainsi , à la gauche des deux précédents , parce qu'il exprime les unités du troisième ordre ; continuer celle série d’opéra
THÉ0H1E GÉNÉHALE
lions jusqu'à ce qu'on soit parvenu à un quotient moindre que la base du nouveau système ; ce dernier quotient exprime les unités de l’ordre le plus élevé, et s'écrit alors à la gauche de tous les restes obtenus successivement.
Appliquons cette règle au nombre trois cent soixante-neuf ou 369, qu’il s’agit de traduire dans le système septénaire.
369 | 7 restes
( io 35 )
Divisant 369 par 7, on a pour quotient 5 a, et pour reste 5 que l’on écrit à part; ce sont les unités du premier ordre dans le nouveau système.
Divisant 5 a par 7, on trouve pour quotient 7, et pour reste 3 , qui exprime les unités du second ordre , et qu’on écrit à la gauche du chiffre 5 .
Divisant 7 par 7, on a pour quotient i, et o pour reste, ce qui indique qu’il n’y a pas d’unités du troisième ordre ; et l’on écrit un o pour en tenir la place.
Enfin , comme le quotient 1 est plus petit que 7, il exprime les unités du quatrième ordre ; et le nombre traduit dans le système septénaire revient A (io 35 ).
On trouverait de même, pour le nombre 5347 traduit dans le système de huit chiffres , o , 1 , a , 3 , 4 , 5 , 6, 7 , l’ensemble des nouveaux chiffres ( 1 2343 ).
5347 j 8 restes
668 ÎT
Remarque. — 11 peut arriver que la base du nouveau système soit plus grande que dix, base du système décimal .
DES SYSTÈMES DE NUMKHATItlN.
lli!)
Dans ce cas, il y a une observation importante à faire poui l’application de la règle.
Soit, par exemple, le nombre 84^3 à traduire dans le système duodécimal , ou dans le système de douze chiffres.
En convenant d’employer les deux lettres grecques, * , », pour désigner les nombres dix et onze , les chiffres de ce système seront o, 1,2, 3 , 4 , 5 , 6, 7 , 8, g, », C.
8423 | 12 restes
701 onze ou C
4 dix ou 2
La base douze étant exprimée par 12 dans le système décimal, on divise 8423 par 12, ce qui donne le quotient 701, elle reste 1 1 qui exprime les unités du premier ordre dans le nouveau système. Or, 1 1 écrit dans le système décimal signifie onze , et par conséquent doit s’écrire C dans le système duodécimal. On écrit donc à part , non pas 1 1 , mais î, comme désignant le chiffre des uriités du premier ordre.
Pareillement, A la troisième division , on obtient pour reste 10 ou dix qui , dans le nouveau système, s’écrit a; on pose donc » à la gauche des deux chiffres déjà trouvés. On obtient ainsi ( 4 * 5 £) pour le nombre proposé , traduit dans le système duodécimal.
120 . Réciproquement, Un nombre étant écrit dans un système quelconque dont la base est B , on peut se proposer de V énoncer en langage ordinaire, ou ce qui revient au même , de le traduire dans le système décimal.
Soit, en général.... hgfdcba un nombre écrit dans le système de B chiffres; a,b,c,d, désignantes unités du 1", du 2', du 3 ',... ordre.
Il résulte du principe fondamental établi 11° 116 , que le chiffre b exprime tles unités B fois plus grandes que s’il était seul ; donc sa valeur relative est égale au produit de b par B
THÉORIE GÉNÉRALE
et peut (n° IOQ) se représenter par A X B , ou simplement par Ail. De même le chiffre c exprime des unités B fois plus grandes que celles du chiffre b ; ainsi sa valeur relative est égale au produit de c par ?xB ou B a , et peut être représenté par cB\ On reconnaîtrait pareillement que dB\ y"!! 1 , g" U 5 , AB 5 ,.... sont les valeurs relatives des autres chiffres.
Donc enfin , le nombre proposé a pour expression
a -f AB + cB“ -frfB 3 +/B' +g-B 5 + AB 6 ....
En donnant à la base B et aux chiffres a , b , c, d, f,... des valeurs particulières, on effectuera, dans le système décimal, toutes les opérations arithmétiques indiquées par cette expression; et l’on obtiendra le nombre correspondant à ces données particulières, traduit dans le système décimal.
[L’expression ci-dessus se nomme, en Algèbre, une formule , parce qu’elle renferme sous une forme concise, le système d'operations arithmétiques h effectuer sur differents nombres pour obtenir la réponse h une qucsliou generale, cl parce qu’on peut en déduire toutes les réponses aux questions de meme espèce, dont les énoncés different seulement par les valeurs mimétiques des données.}
Traduite en langage ordinaire, celte formule donne lieu à la règle suivante : Formez d’abord les diverses puissances delà base B écrite dans le système décimal ; multipliez ensuite
tous les chiffres a, b , c , d , f . . . . ,
traduits également dans le système décimal, respectivement par les nombres, i , B ,B a ,B 3 , B 4 , . . . ; ajoutez ensuite tous ces produits partiels, et vous aurez le nombre demandé.
Soit, par exemple, le nombre (5y43 b) écrit da,ns le système de huit chiffres, à traduire dans le système décimal.
Après avoir reconnu par des multiplications successives, que les puissances de 8 jusqu’à la 4' inclusivement, sont 8, t>4, 5ia, 4°9*3> 011 peut disposer ainsi les calculs':
