PRINCIPES

dans cette nouvelle série d’opérations , on obtiendrait les mêmes quotients que dans la première; mais les restes seraient respectivement R X B, R'x B, R" xB. . . , t X B. Par conséquent, comme le plus grand commun diviseur entre A et P est i, celui des produits A x B et PxB, est nécessairement iX B, on B.

D’un autre côté , il suit du troisième principe établi n° 51- , que tout nombre qui en divise deux autres , divise leur plus grand commun diviseur, puisqu'on vertu de ce principe , il doit diviser le reste de chacune des divisions auxquelles donne lieu le procédé du n° 62. Or P divise A X B par hypothèse ; il divise aussi évidemment P X B ; donc il divise 1 X B ou B ; ce qu’il fallait démontrer.

N. li. — Il est nécessaire desupposef que P est premieravec l'un des deux facteurs; car, par exemple, 56 X i5 ou 84o est divisible par 40 et donne pour quotient 21 , quoique aucun des nombres 56 et i5 ne soit divisible par 40. Cela lient à ce que , 4o étant égal à 8 X 5 , le premier facteur 8 se trouve dans 56 ou q X 8, et le second facteur 5 se trouve dans 1 5 ou 5 X 3 ; donc 56 X 1 5 est égal à , ;x8x5x3 1 nu ]X3x8x5, ou enfin, à 21 X 4°-

129. Troisième principe. — /'oui nombre premier absolu P, qui divise exactement un produit A X B, doit diviser l'un des deux facteurs.

En effet , supposons que P 11e divise pas A , il est nécessairement premier avec A (11® 12G); donc il doit diviser B ( ri" 129).

De là résultent les conséquences suivantes :

150. i°. Tout nombre premier absolu qui divise A% cl en général une puissance quelconque A’" de A , doit diviser A.

En effet , A° est la même chose que AXA. Or, tout nombre premier qui divise ce produit, doit (n° 129) diviser l’un des facteurs. De même A :i étant égal à A" X A , tout nombre premier qui divise A 3 doit diviser A ou A 1 ; et pour diviser ce dernier facteur, il doit diviser A ; ainsi de suite.

151. 2°. Tout nombre P, premier avec chacun des deux fadeurs d’un produit A X B , est aussi premier avec ce produit-

SUR LA DIVISIBILITÉ DLS SOMBRES. 1 ■jS

lin effet, un nombre premier absolu qui diviserait AB, devrait diviser A ou B ; ainsi P et A , ou bien P et B, ne seraient pas premiers entre eux; ce qui serait contre la supposition

152. Z“. Lorsqu’un nombre N a été formé par la multiplication de plusieurs autres, A , B, C, D , . . . , ce nombre ne peut avoir dC autres facteurs premiers que ceux qui entrent déjà dans A ,B,C , 1). . . .

En effet , tout nombre premier qui divise le produit ABCD et ne divise pas D, doit diviser ABC (n° 129) ; de même, tout nombre premier qui divise ABC cl ne divise pas C , doit diviser AB , et par conséquent A ou B

Ainsi , en d’au 1res termes, un nombre étantformé par la multiplication de plusieurs autres, on ne peut l'obtenir de nouveau en multipliant des nombres qui renfermeraient des facteurs premiers différents de ceux qui entrent dans les nombres déjà multipliés.

155. Quatrième et dernier principe. — fout nombre N, divisible par deux ou plusieurs nombres, a, b, c,. . . , premiers entre eux, est divisible par leur produit.

En effet , puisque a divise fi , on a ’S=aq,q étant un nombre entier ; mais par hypothèse, b divise aussi N ; donc b divise aq ; et comme a, b, sont supposés premiers entre eux, il faut (n° 128) que b divise exactement q, et l’on a q = bq ’ ; d’où l’on déduit N r= a X bq = ab X q ’• Ainsi N est divisible par ab.

Pareillement, c divisant N, doit diviser où Xy'; d’ailleurs, c est premier avec a, b , et par conséquent avec ab ( n° 151). Donc, c doit diviser q' , et l’on a q' ~ cq" ; d’où l’on tire N =s ab X c<y''=nùcx q" ; ce qui prouve que N est divisible par abc ; et ainsi de suite.

154. Conséquence. — Si a, b , c . . . , étant des nombres premiers entre eux , chacun entre connue fadeur dans N un certain nombre de fois exprimé par n, p , q . . . , le nombre N est divisible exactement par a"bfct . . . , et par tous les nombres qu’on peut oblcuir en multipliant deux à deux , trois à trois , etc. .. , les diverses puissances de a, b, c. . , comprises de-