PRINCIPES SUR LA DIVISIBILITÉ DES NOMBRES

puis la première jusqu’à celle dont le degré est marqué par n pour a , par p pour b , par q pour c. . . .

En effet, a,b,c..., étant des nombres premiers entre eux , il en est de même de a m , bf , ci... ; donc (n° 153) leurs produits deux à deux, trois à trois..., doivent être aussi des diviseurs exacts de N.

Ce principe sert de base à la recherche des diviseurs d’un nombre , tant simples que composés , question dont nous nous occuperons bientôt.

13o. Caractères de divisibilité d’un nombre par d’autres.

11 existe des signes auxquels on peut souvent reconnaître qu’un nombre est ou n’est pas divisible par d’autres nombres; ce qui est utile dans la pratique.

Les raisonnements dans lesquels nous serons entraînes pour établir ces caractères, reposent sur le principe suivant:

Soit un nombre A décomposé en deux parties B et C, en sorte qu’on ait A = B4-C.... (i).

i°. Si un quatrième nombre 1) divise exactement les deux parties B et C, il divise aussi leur somme A . (Voyez n° SI.)

2 °. Si le nombre D divise l’une des parties B, sans diviser l’autre C, il ne divise pas non plus A ; et le reste de la division de A par D est égal à celui que donne la division de C par D.

La première partie de ce principe est facile-à démontrer. En effet , divisons par D les deux membres de l’égalité (i); il vient

A li , c / , O ^D+D- (2) '

Or les deux termes du second membre sont des nombres entiers, puisque B et C sont, par hypothèse, divisibles par D ; donc le premier membre doit aussi être un nombre entier ; autrement on aurait un nombre fractionnaire égal à un nombre entier, ce qui serait absurde. Ainsi A est divisible par D.

Quant à la seconde partie, il est clair, d’après l’égalité ( 2 ), que si, B étant divisible par D , C ne l’était pas, A ne le serait pas non plus ; car autrement, il en résulterait encore un nombre entier égal à un nombre fractionnaire. Mais il s’agit actuelle-