Propriétés des nombres 2 et 5 , 4 et 25 , 8 et

1". Tout nombre terminé par l’un des chiffres, o , 2 , 4 ,8 , 8, est divisible par 2.

En effet , ce nombre peut être décomposé en deux parties , savoir: la partie à gauche des unités simples, considérée avec sa valeur relative , et le chiffre des unités simples. ( Par exemple, 385^6 revient à 3857048.) Or la première partie étant terminée par un o , est multiple de 10 ; 10 est d’ailleurs divisible par : , puisque l’on a 1 o = 2 X 5 ; donc aussi cette première partie est divisible par 2. Mais un quelconque des chiffres o, 2, 4 » §> 8 , est divisible par 2 ; ainsi ( n° 136 ) le nombre total est divisible par 2.

Si le nombre est terminé par l’un des chiffres 1, 3 , 5 , 7,9, il 11’est pas divisible par 2 , puisque l’une de ses parties est divisible, et que l’autre ne l’est pas.

l\ r , B. — Tout nombre divisible par 2, ou terminé par l'un des chiffres o, 2, 4> 6, 8, est dit un nombre pair. Les autres sont des nombres impairs.

Tous les nombres pairs sont compris dans la formule 2 n, n étant un nombre eniier quelconque , cl les nombres impairs dans la formule (2«4 O-

(*) Toute» le» propositions oublies depuis le n" 127 jusqu’au it° 136 in— elusivenient, sont vraies dans tous les systèmes de numération.

Arilh . D . i y

CARACTKlt ES

2 0 . Tout nombre terminé pnr un o ou un 5 est divisible par 5 . — Même démonstration que pour le diviseur 2.

Si le dernier chiffre est different de o ou de 5 , le nombre n’est pas divisible par 5 \ elle reste de la division de ce nombre par 5 , est égal au reste de la division du dernier chiffre par 5 ( n° 138 ) ; c’est-à-dire que le reste est le chiffre lui-même si celui-ci est moindre que 5 ; et dans le cas contraire , le reste est l’excès de ce chiffre sur 5 .

Ainsi 1327 divisé par 5 donne pour reste 2 , qui est égal au reste de la division de 7 par 5 , ou à l’excès de 7 sur 5 .

De même, 3478901 71436 donnent respectivement pour restes 4 et 1 .

3 °. Tout nombre est ou n J est pas divisible par 4 ou par 2.5, suivant que le nombre exprimé par les deux derniers chiffres est ou n J est pas divisible par 4 ou par 25 .

En effet, ce nombre peut se décomposer en deux parties : la partie à gauche des dixaines, considérée avec sa valeur relative, et la collection des dixaines et unités. (Par exemple, 3548 et 27875 reviennent à 35 oo 48 et 27800 -f- 75.) Or la première partie étant terminée par deux zéros, est multiple de 100 ; 100 est divisible par 4 ou par 25 , puisque 100 = 25 x 4 ! donc cette première partie est aussi divisible par 4 on par 25 ; mais la seconde partie est elle-même , par hypothèse , divisible par 4 ou par 25 ; donc le nombre total est divisible par 4 ou par 2.5.

Ainsi 3548 est divisible par 4 , parce que 48 est un multiple de 4 ; 27875 est divisible par 25 , parce que 7 5 est un multiple de 25 .

Mais 13758 n’est pas divisible par \ et donne le reste 2., c’est-à-dire le même que celui de la division de 58 par 4 -

2.5659 n’est pas divisible par 25 et donne pour reste 9, ou le reste de la division de 5 q par 2 5

N. B. — Pour le nombre 25 , il n’y a évidemment que les nombres terminés par oo, 25 , 5 o, ou 75, qui soient divisibles par 2 . 5 .

4 *. Tout nombre est ou n'est pas divisible par 8 ou pat \ 7 . 5 .

• DE DIVISIBILITÉ. I 7g

suivant que le nombre exprimé par les trois derniers chiffres est ou nesl pas divisible par b ou par 1 25 .

Nous ne développerons pas la démonstration, parie qu’elle est analogue aux précédentes. 11 nolts suffit d’observer qu’elle est fondée sur ce que 1000 = i?. 5 p< 8. D’ailleurs , cette propriété n’est guère en usage.

137 . Propriétés des nombres 3 et g. — Tout nombre dont la somme des chiffres , considérés avec leur valeur absolue , est divisible par 3 ou par g , est lui-même divisible par 3 ou par g.

Remarquons d’abord que, si d’une puissance quelconque de 10, ou de l’unité suivie d’un nombre quelconque de zéros , on retranche 1 , le résultat est divisible par g; car ce résultat se compose d’autant de chiffres g éc*its les uns à la suite des autres , qu’il y avait de zéros. Or, la valeur absolue de chaque chiffre g est divisible , soit par 3 , soit par g ; donc il en est de même do sa valeur relative , qui est un multiple de la valeur absolue. Ainsi , le résultat est aussi divisible par 3 ou par g.

Cela posé, pour généraliser davantage nos raisonnements, nous appellerons N le nombre proposé , et nous désignerons par a, b, c, d,... les chiffres de ses unités, dixaines, centaines, mille,...-, en sorte que l’on aura N «= . . . gfdcba, ou plutôt, en vertu du principe fondamental de la numération décimale,

N = fl+ 1 o b -f- 1 o ’ c -+- 1 o 3 (f-\- 10‘d -h...

Or, cette égalité peut être mise sous la forme

N l+(io — i)ô+(io« — i)c-J-(io s — i)if+(io>- i)/-f ... • +a -h b -c + d -\ f + ...

[Par exemple , to'.d— 10 . d — d </= (io ! — i)d + d.)

Or, d’après ce qui vient d’être dit, 10 — i,io a — i,io 3 — 1 .., et en général, 10" — 1, étant divisibles par 3 ou par g,, la première ligne horizontale se compose d’une suite de nombres multiples de 3 ou de g; ainsi , cette première partie du nombre N est elle-même divisible par 3 ou par g. Donc , si la se-