CARACTÈRES

comle partie , qui n’est autre chose que la somme des chiffres du nombre proposé, considérés avec leur valeur absolue, si cette seconde partie, 4is-je , est divisible par 3 ou par g, le uombre total est lui-même divisible par 3 ou par*9- — C.Q.F.D.

158. Pour obtenir le reste de la division d’un nombre quelconque , par 9 ou par 3 , il suffit de faire la somme des chiffres considérés avec leur valeur absolue, el de diviser cette somme pargou par 3. Si cette division ne donne pas de reste , le nombre total est divisible par g ou par 3 ; mais si l’on obtient un reste, il est le même que celui qu’on obtiendrait en divisant le nombre total par g ou par 3.

C’est une conséquence du principe établi n° 135.

139. Propriété du nombre u . — Tout nombre est divisible par 1 1 lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite , et la somme des chiffres' de rang pair, est o ou un multiple de 1 1 .

Avant de démontrer cette propriété, il est nécessaire de remarquer

i°. Que toute puissance d’un degré pair, de io, diminuée d’une unité , donne un résultat divisible par 1 1 .

En effet, ce résultat est nécessairement composé d’une suite de chiffres 9 en nombre pair, écritsà la suite les uns des autres ; or, chaque tranche de deux chiffres, considérée seule, forme gg ou g X 1 ■ , et est par conséquent divisible par 1 1 ; donc la valeur relative de chaque tranche, qui est un multiple de la valeur absolue, est elle-même divisible par 1 1. Donc, en général, io a "— 1 est divisible par 11 (an exprimant, comme nous l’avons déjà dit, un nombre pair).

2 0 . Que toute puissance d’un degré impair, de 10 , augmentée d’une unité, donne un résultat divisible par n.~

En effet, une puissance d’un degré impair quelconque de 10, peut être exprimée par io’“ +1 (n° 156). Or, on a

io 1 *- 1 " = io”Xio {voyez n° 112) ; ou bien encore ,

io« +l = io’"x 10 — 10 -|- 10 (io-" — 1 ) 10+ 10;

Dit

r»K divisibilité.

«joutant i aux Jeux membres, on en conclut

IO , " +, -|- 1 =r(l o’“ — l) 10+ II.

Mais io'* — i est divisible par i i , d’après la première remarque; 1 1 est d’ailleurs divisible par lui-même; donc io'" +, + i est aussi divisible par 1 1 .

Cela posé, soit N zezhgfdcba le nombre proposé. Ou a, d’après le principe fondamental de la numération décimale ,

N = o + ioô + to 3 c-f-io ;i d+ ( 0 ty+ io 5 §•+..., égalité qu’on peut mettre sous la forme

+(io-f-i)£ + (io‘— i)c+(io 1 + i)d+(io*— i )/+... +a — b +c — d -\-f — ..

Or, d’après les deux remarques précédentes , la première ligne se compose de nombres essentiellement divisibles par 1 1, et forme par conséquent une première partie qui est ellenièmc divisible par n. Donc si la seconde partie, qui n’est autre chose que. la différence entre la somme a +c+ des chiffres de rang impair, et la somme b + d-\-g +... des chiffres de rang pair, est divisible par 1 1 , comme on l’a supposéf le nombre total N est aussi divisible par 1 1. — C. Q. F. D.

140 . Lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair, n’est pas o ou un multiple de 1 1 , le nombre total n’est pas divisible par 1 1 , puisque l’une de ses parties est divisible et que l’autre ne Test pas. Mais alors il y a deux cas à considérer relativement à la manière d’obtenir le reste de la division :

i °. Si la somme, des chiffres de rang impair est plus grande que la somme des chiffres de rang pair, la différence devra être ajoutée à la première ligne horizontale de la valeur de N. Désignant donc cette première ligne par B, et la différence à ajouter par C , on aura N = B -f-C ; et si C n’est pas divisible par 1 1 , le reste de la division de N par 1 1 est celui qu'on obtiendrait en divisant C par 1 1 (n° 483 ).

?.°. Si, au contraire , la somme des chiffres de rang pair est plus grande que celle des chiffres de rang impair, la diQr-