PREUVES PAS 9 ET PAR I

rence devra être soustraite de la première ligue, et l’on aura N — B — C; C désignant toujours la valeur numérique dê la différence.

Or, B étant multiple de 1 1, et G renfermant lui-même , en général, un certain multiple de 11 plus un reste R moindre que i ■ , il s’ensuit que N ou B — C peut être mis sous la forme

ou bien N = i i (m — i ) — 1 1 — R .

D’où l’on voit que, dans ce cas, le reste de la division de N par 1 1 est égalait résultat qu'on obtient en retranchant R de 1 1 , ou , en termes abrégés , au complément de R à 1 1 .

Soit, pour fixer les idées, le nombre 47356708. En faisant la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite , on trouve 27 ; faisant de même la somme des chiffres de rang pair, on obtient i3. Or, la première somme est plus grande que la seconde. Donc, si l’on prend la différence , ce qui donne i4 , le reste 3 , de cette différence divisée par 1 1, sera égal à celui de la division du nombre total; ce qu’on peut vérifier aisément, en effectuant cette dernière division conune à l’ordinaire.

Mais si l’on avait le nombre 370546345, puisque la somme des chiffres de rang impair est i5, et que celle des chiffres de ring pair est 22 > i5 , il s’ensuit que , si l’on prend la différence entre ces deux sommes, ce qui donne 7, le reste de la division du nombre total par 1 1 , n’est pas 7, mais bien 1 1 — 7, ou 4 , comme on peut s’en assurer.

i4l. Preuves par 9 et par 1 1 de la multiplication et de la division. — Nous ne pouvons passer sous silence un moyen simple et très-commode de vérifier la multiplication et la division des nombres entiers. En voici l’énoncé :

Faites successivement la somme des chiffres du multiplicande et la somme des chiffres du multiplicateur, en ayant soin d'ôler, au furet à mesure , tous les g que ces deux sommes renferment ; vous obtenez ainsi deux restes qui ( n° 158) ne

DE LA MULTIPLICATION ET Dt l.A DIVISION.

sont autre clmsc que les restes île la division des deux lacteuis par y.

Multipliez ces deux restes l'un par l'autre , et cherchez de la meme manière le reste de la division de leur produit par y.

Enfin , faites la somme des chiffres du produit obtenu , en olant tous les y qui se trouvent dans celte somme; vous obtenez un nouveau reste qui doit être égal au précédent pour que l’opération soit exacte.

Soit , par exemple , à multiplier l’un SiBli 8 |

par l’autre les deux nombres S^GG et , e ; —

4?5 ; la multiplication étant effectuée

d’après le procédé connu, on fait la 28y3o

somme des chiffres du multiplicande, en .jo5o2

ôtant les y au fureta mesure; ainsi l’on

dit, en commençant par la gauche : 2748350

5 et 7 font 12; de 12 ôtez y, il reste 3 ; 3 et 8 font 11. de 11

ôtez y, il reste 2 ; enfin , 2 et G font 8 ; c’est le reste de la divi -

sion du multiplicande par y, et ou l'écrit à paî t.

On opère de la même manière sur le multiplicateur ; ce qui donne pour reste 7, que l’on écrit au- dessous de 8, comme ou le voit ci-dessus.

O11 multiplie 8 par 7 ; il vient 5 G et l’ou dit : 5 et G font 1 1 , ôtez y, il reste 2 qu’on place à la droite de 8. Enfin , l’on opère sur le produit total comyie sur les deux facteurs ; ce qui donne le nouveau reste 2 qui doit être égal au précédent pour que l’opération soit exacte.

Pour rendre raison de la preuve par y d’une manière générale, désignons par A et II les deux facteurs proposés, par Q, Q”, R et R , les quotients cl les restes de la division du multiplicande et du multiplicateur par y; on a les égalités suivantes :

Multipliant membreà membre ces deux égalités, ou obtient (n° 112)... AB=y\ QQ'-|-y- Q'R-f-y. QR' 4 -RR'.

lt$4 PREUVES PAR 9 ET PAH 11.

Or les trois premiers ternies du second membre de cette nouvelle égalité sont évidemment des multiples de 9; donc (n° 138 ) le reste de la division du produit AB par 9, doit être égal à celui que donne le produit RR' divisé par 9; ce qu’il fallait démontrer.

Si l’un des deux facteurs de la multiplication est divisible par g, le produit doit l’être également ; alors R ou R' est nul. Il en est de même si le produit RR' est multiple de 9.

Quant à la preuve de la division , il peut arriver deux cas : ou, en effectuant la division d’après le procédé connu, l’on n’obtient pas de reste , ou bien l’on en obtient un.

i° — S’il n’y a pas de reste , le dividende étant alors le produit exact du diviseur par le quotient obtenu, on peut appliquer la règle précédente en regardant le diviseur et le quotient comme les deux facteurs d’une multiplication , et le dividende comme le produit.

2° — Si l’on obtient un reste , comme, en appelant N le dividende total, D le diviseur, Q le quotient, et R le reste, 011 a l’égalité

N = DQ + R ,

il s’ensuit que le reste de la division de N par 9 doit être égal à la somme du reste de la division de DQ par 9, et du reste de la division de R par 9 (somme qu’il faut toutefois diminuer de 9 si elle est plus grande que ce dernier nombre).

N. B. — Toutes les fois qu’on fait usage de la preuve par 9 , et que le reste trouvé au produit total, n’estpas égal au 3 * reste, on peut conclure que la multiplication n’a pas été faite exactement; mais si le reste du produit est égal au 3 e , il est présumable que l’opération est juste; cependant, on ne saurait l’affirmer, pour deux raisons principales: la première , parce qu’on a pu écrire, soit dans les produits partiels, soit dans le produit total , des zéros pour des g, et d’après la nature de la preuve, on ne pourrait s’apercevoir de l’erreur ^ la seconde, parce que deux chiffres, soit des produits partiels, soit du produit total , peuvent être , l’un trop fort , l’autre trop faible