RECHERCHE

oh écrit 2 qui est le plus petit diviseur de 588o , à côté de la barre, et sur la même ligne que 588o ; puis on effectue la division, et l’on place le quotient 2940 au-dessous de 588o.

2940 étant encore divisible par 2 , on écrit ce nouveau diviseur au-dessous du précédent, et le nouveau quotient 1470 au-dessous de 2940. -

1470 étant encore divisible par 2 , on place ce nouveau diviseur au-dessous du précédent, et le nouveau quotient -735 au-dessous de 1 47°-

Le quotient ^35 n’est plus divisible par 2, mais il l’est par 3, nombre premier le plus simple après 2. On écrit 3 au-dessous du dernier diviseur 2 , puis on divise ^35 par 3 , ce qui donne pour quotient 245 qu’on place au-dessous de 7 35.

245 n’est plus divisible par 3 , mais il l’est par 5 que l’on écrit au-dessous du diviseur 3; et l’on a pour nouveau quotient 4g < qu’on place au-dessous de 245.

49 n’est plus divisible par 5 , mais il l’est par 7, qu’on écrit sous le diviseur 5. Le quotient de 49 par 7 est 7, qu’on place au-dessous de 49-

Enfin, 7 étant un nombre premier, on l’écrit de nouveau comme diviseur, dans la colonne à droite ; et , comme on obtient 1 pour quotient, l’opération est terminée.

On trouve alors pour le résultat de toutes ces opérations,

et le nombre se trouve ainsi décomposé en ses facteurs simples.

Second tableau. — Formation de tous les diviseurs, tant simples que composés. ( Voyez la page suivante.)

Pour obtenir tous ces diviseurs , on écrit d’abord sur une même ligue horizontale les quatre nombres i, 2,4>8, qui sont évidemment diviseurs de 588o , puisque t est diviseur de tout nombre, et que, d’après la décomposition opérée cidessus, 588o a pour facteurs 2 1 , 2*, 2’.

Cela posé, on multiplie tous les termes de cette première ligne par le facteur 3, et l’on obtient une nouvelle ligne de

DE TOUS LES DIVISEURS d’UN SOMBRE. 1 84

diviseurs, 3,6, 12, 24, qu’on place respectivement au-dessous des préce'dents.

Passant au facteur 5, ou multiplie tous les termes des deux lignes préce’dentes par ce facteur, et l'on obtient deux nouvelles lignes de diviseurs, 5, 10. . . , i5, 3o. . . .

Passant au facteur 7 qui entre deux fois dans le nombre proposé , on multiplie d’abord tous les termes des quatre lignes préce'dentes , par ce facteur, ce qui donne quatre nouvelles lignes de diviseurs, puis tous les termes de ces quatre dernières lignes , par le même facteur 7 , ce qui donne encore quatre nouvelles lignes de diviseurs.

On a donc, en tout, 12 lignes de 4 nombres chacune, 01148 nombres qui sont autant de diviseurs de 588o.

to,

io5,

Il est d’ailleurs facile de voir, i°. que tous les produits obtenus dans cette opération , sont des diviseurs du nombre proposé (cela résulte de l’expression 588o=2 3 . 3. 5.7’); 2 0 . que ce nombre ne saurait en avoir d’autres. ( Voyez n” 132.)

IV. B. — Dans la pratique , il convient , pour la formation du second tableau , d'écrire sur la première ligne horizontale , les puissances du facteur premier qui entre le plus de fois dans le nombre proposé ; l’ordre des autres facteurs est ensuite tout-à-fait indifférent.

Nous proposerons pour exercice, de trouver tous, les divi-

iqo RECHERCHE DE TOUS LES DIVISEURS d’un NOMBRE,

seurs des nombres

que l’on reconnaîtra respectivement égaux à

145 . Dès qu’on a opéré la décomposition d’un nombre en ses facteurs simples, on peut aisément obtenir l’expression du nombre total des diviseurs que renferme le nombre proposé , sans être obligé de former le second tableau.

Reprenons en effet l’expression générale

N = a" bP et d’,

et considérons la première ligne de diviseurs 1 ,a',a\a 3 ,...,a’,

dont le nombre est exprimé par (n -j- 1).

En multipliant tous les nombres de cette première ligne, successivement par les termes b' , b *, b 3 ,. . . , bP, qui sont en nombre p , on forme un nombre p de nouvelles lignes de diviseurs de 1) termes chacune , ou (» + i)Xp diviseurs, auxquels il faut ajouter les (n 4-1) diviseurs de la première ligne, ce qui donne (n + i) p 4* (ti 4- 1), ou (n-f- 1)

[] Tous ces diviseurs sont des puissances de a et de b prises isolément ou combinées deux à deux.]

Multipliant maintenant tous les termes de ces différentes lignes de diviseurs, successivement par les termes c‘,e*,cV. qui sont en nombre q , nous obtiendrons un nombre de nouvelles lignes de diviseurs, exprimé par (n -f- 1 ) {p 4- 1 )X ? , auquel il faudra ajouter le nombre («4- 1) (p 4- 1) des diviseurs formés précédemment.

Ainsi le nombre total des diviseurs déjà obtenus est exprimé par

l/H-i) (p+i)X q+(n+t) ( p+ 1), ou (« 4-0 (? 4 - 0 ;

et ainsi de suite.

CARACTÈRES OES NOMBRES PREMIERS. lyl

D’où l’on déduit cette règle : augmentez d'une unité chacun des exposants n , p, q, des différents facteurs premiers qui entrent dans N , puis multipliez entre eux ces exposants ainsi augmentés d’une unité ; le produit exprime le nombre totai. des diviseurs de N , y cojnpris V unité et le nombre lui-même, qui doivent l’un et l'autre entrer en ligne de compte.

Dans l’exemple traité ci-dessus, comme on a trouvé

on doit avoir (3— f- 1 ) ( i — f- 1 ) (i + i) (a-f-i), ou 4- 2.2. 3. ou 48. pour le nombre total des diviseurs; c’est eu effet ce qui résulte de la formation du second tableau.

146. Brmarque. — Il arrive quelquefois qu’en essayant la division d’un nombre N par les facteurs premiers 1 , 3 ,5 , 7 ... , on n’en trouve aucun qui le divise exactement. Or, lorsqu’on a poussé l’épreuve jusqu’à la partie entière de la racine carrée de N ( voyez le n° 108, 7 0 ), sans trouver aucun diviseur exact , il est inutile d’essayer de nouveaux diviseurs , et Von peut assurer que N est un nombre premier.

Ainsi, 73 est un nombre premier; car la racine carrée de 73 est comprise entre 8 et 9, et aucun nombre entier jusqu’à 8 inclusivement, ne divise exactement 73.

Pour démontrer cette proposition, soient deux nombres A et B , dont le produit est égal à N; et désignons par H la racine carrée de N .

On a A x H = R X H .

Or, pour que cette égalité subsiste, il faut évidemment que, si l’on a A > R , ou ait par compensation , B R ; ce qui prouve qu’il ne peut exister un diviseur de N , plus grand que R, par cela seul qu’il n’y en a pas de plus petit. Ainsi le nombre est premier.

Les jeunes gens qui savent déjà extraire des racines carrées reconnaîtront sans peine, d’après la remarque précédente,

iga FORSIATION d’üne table des nombres premiers. que 1 13,71g, 977, 3329, 8i23 ,. sont des nombres premiers ('*').