Formation d’une table des nombres premiers

Soit proposé , par exemple , de former une table de tous les nombres premiers depuis 1 jusqu’à 1000.

En concevant les 1 000 premiers nombres écrits à la suite les . uns des autres, on commence par supprimer, i°. tous les nombres pairs, autres que 2; 2 0 . tous les nombres multiples de 3 , autres que 3 (n° 157) ; 3". tous les nombres terminés par un 5, autres que 5 (n° 136).

Ces premières suppressions opérées, 011 peut déjà affirmer que tous les nombres, compris depuis 1 jusqu’à 7 X 7 ou 49, et qui n’ont pas été effacés, sont des nombres premiers (puisque le plus petit multiple de 7 restant ne peut être que

Ainsi, tous les nombres premiers depuis 1 jusqu’à 47 inclusivement sont déjà connus.

Maintenant , si'l’on efface tous les multiples de 7 à partir de 4g , on peut affirmer que les nombres non supprimés, jusqu’à 11 X n ou 121 exclusivement, sont des nombres premiers (puisque tous les multiples de 1 1 inférieurs à celui-là ont dû disparaître).

Donc tous les nombres premiers depuis 1 jusqu’à 1 1 3 sont connus.

Effaçant de nouveau tous les multiples de ti, à partir de 11X11, on pourra conclure que tous les nombres non effacés et compris depuis n3 jusqu’à 167, nombre premier immédiatement inférieur à 169 ou i3x t3, sont des nombres premiers; et ainsi de suite. On voit avec quelle promptitude

(*) Ceux auxquels cette operation ne serait pas familière peuvent sc botner h U règle suivante :

Lorsque, apres avoir essayé successivement , sans aucun succès, les oumbres premiers a, 3, 5, 7 ,...., on parvient It'un quotient moindre que le dernier diviseur essayé , on peut* affirmer que le nombre est PREMIER.

RÉDUCT. ÜLS FllACT. AL’ FLUS PLUT DÊMOMINAT. COMMUN. Iq3 ou peut former une table tle nombres premiers assez éten- ■lue (*).

148. Réduction des fractions au meme dénominateur. — La règle générale établie , n° 47 , pour réduire deux ou plusieurs fractions au même dénominateur, conduit ordinairement à des fractions dont les termes sont très-grands. Cependant , lorsque les dénominateurs primitifs renferment des facteurs communs, il est possible d’obtenir un nombre beaucoup plus petit que leur produit, qui serve ensuite de dénominateur commun à toutes les fractions. C’est donc une question importante à traiter, pour la simplicité des calculs , que celle qui consiste à déterminer le plus petit multiple commun aux dénominateurs de deux ou de plusieurs fractions.

Or, voici la règle qu’il faut suivre pour obtenir ce nombre : Décomposez , d’après la règle n° 144, les différents dénominateurs dans leurs facteurs premiers ; formez ensuite le produit de tous ces facteurs premiers élevés respectivement à la plus haute des puissances auxquelles ces fadeurs se trouvent élevés dans les différents dénominateurs. Le produit ainsi formé est le nombre demandé.

D’abord, ce nombre est multiple de iliaque dénominateur, puisqu’il contient tous les facteurs premiers à une puissance au moins égale à celle qui entre dans ce dénominateur. Je dis, en outre, que c’est le plus petit multiple commun à tous; car, pour contenir exactement un dénominateur quelconque, il faut qu’il renferme chaque facteur premier à une puissance au moins égale à celle qui entre dans ce dénominateur.

Soit, par exemple, proposé de réduire à un même dénominateur les six fractions suivantes :

i3 17 23 1^3 3 iq 5a3

Les six dénominateurs décomposés dans leurs facteurs sim-

Cette mciliode est connue sous le nom de Crible d’LnATOSTHÈnc. Arith. Il ,3