Soit un produit de trois facteurs 5x4x3. Écrivons

le nombre 5 quatre fois sur une même ligne horizontale , et répétons cette ligne 3 fois.

Chaque ligne horizontale, se composant du nombre 5 répété quatre fois, vaut 5 X A; comme il y a 3 lignes, on a en tout 5 x 4 X D’autre part, chaque colonne verticale, se composant du nombre 5 répété trois fois, vaut 5 X 3 ; comme il y a à colonnes , on a en tout 5x 3x4- Ainsi le môme tableau , évalué d’une façon ou de l’autre, donne 5 x A X 3 ou 5 x 3 XA. 11 en résulte que le produit de trois facteurs ne change pas quand on intervertit l’ordre des deux derniers.

3%. Considérons maintenant un produit d’un nombre quelconque de facteurs

Je vais démontrer que l’on peut intervertir deux facteurs consécutifs quelconques. On peut d’abord intervertir les deux premiers ; car, le produit 5 X A ou A X 5 de ces deux premiers facteurs restant le même , comme on le multiplie ensuite par les mêmes facteurs 3, 7, 2, on arrivera évidemment au même produit final. On peut de même intervertir le second et le troisième ; car, le produit 5xAx3ou 5x3xAde ces trois premiers facteurs restant le même , comme on le multiplie ensuite par les mêmes facteurs 7 et 2 , le produit final ne sera pas changé.

Regardons comme efièctué le produit des deux premiers facteurs 5 X A , ce qui donne

puisqu’on peut intervertir les deux facteurs 3 et 7, qui occupent alors le second et le troisième rangs, on pourra les nterverlir a usai dans l’expression proposée. <

MULTIPLICATION

De même, si l’on suppose effectué le produit (les trois premiers facteurs , ce qui donne

on voit que l’on peut intervertir l’ordre des deux derniers.

Une fois que l’on a établi le changement de deux facteurs consécutifs quelconques, il est aisé de voir que l’on peut disposer les facteurs dans tel ordre qu’on voudra. On veut, par exemple , amener le facteur 2 au premier rang ; on le fera d’abord passer au quatrième rang , en changeant l’ordre des deux derniers facteurs ; on le fera ensuite passer au troisième rang, en changeant l’ordre du troisième et du quatrième facteur, et ainsi de suite. Puisque l’on amène chaque facteur à une place quelconque , il est clair que l’on peut disposer les facteurs dans tel ordre que l’on veut sans changer la valeur du produit.

POUR MULTIPLIER UN NOMBRE PAU UN PRODUIT DE PLU- SIEURS FACTEURS, IL SUFFIT DE MULTIPLIER SUCCES- SIVEMENT PAR LES FACTEURS DE CE PRODUIT.

33 . On veut, par exemple, multiplier ô par le nombre 12 qui est le produit des deux facteurs 4 et 3 ; ceci revient à multiplier 5 par 4 et le résultat par 3. En effet, si l’on répète le nombre 5 quatre fois, et si l’on répète ensuite le résultat trois fois , il est clair qu’on aura répété le nombre 5 trois fois quatre fois, c’est-à-dire 12 fois. Ainsi, au lieu de dire 12 fois 6 fout 60 , on pourra dire : 4 fois 5 font 20, 3 fois 20 font 60.

Supposons maintenant que l’on veuille multiplier 5 par le nombre 24, qui est le produit des trois facteurs 4, 3, 2; ceci revient à multiplier d’abord par 4, puis par 3 et enfin par 2. En effet, si l’on répète d’abord le nombre 5 quatre fois et le résultat trois fois, on l’aura répété 12 fois, comme nous l’avons dit ; si l’on répète ensuite le résultat 2 fois, on aura répété le nombre 5 deux fois douze fois, c’est-à-dire 24 fois. Ainsi, au lieu de dire 24 fois 5 , oh dira : 4 fois 5 font 20, 3

fois 20 font 60, 2 fois 60 font 120 ; donc 24 fois 5 font 120.

On peut aussi démontrer cette vérité de la manière suivante : Considérons le produit

en changeant l’ordre des facteurs , ce qui est permis , on écrira

si l’on effectue le produit des deux premiers facteure, on aura 12 X 5 ou 5 x 12; donc

On voit par là que l’on multiplie un nombre par 12, en le multipliant successivement par 4 et par 3.

Considérons encore le produit

En changeant l’ordre des facteurs, on l’écrira 4 X 3 X 2 X 5;

si l’on effectue le produit des trois premiers facteurs , on aura 24 X 5 ou 5 X 24. Donc

On voit par là que l’on multiplie un nombre par un produit de trois facteurs en le multipliant successivement par chacun d’eux.

Remarques.

8 4 . En général, dans un produit de facteure, on peut grouper plusieurs facteure à volonté. D’abord, si les facteurs que l’on veut combiner sont au commencement, comme l’expression elle-même indique qu’il faut les multiplier, on pourra effectuer cette multiplication et remplacer ainsi ces facteure par leur produit. Si les facteurs ne sont pas au commencement, on supposera qu’ils y soient amenés, et on les remplacera par leur produit ; ce produit pourra être mis ensuite à un rang quelconque.

MULTIPLICATION, 33

Ces combinaisons de facteurs abrègent singulièrement les calculs ; on demande, par exemple, la valeur du produit

Si l’on effectuait les multiplications dans l’ordre indiqué, le Calcul serait très-long ; mais je remarque que 2 fois 5 fout 10, que 4 fois 25 font 100; je groupe donc les facteurs 2 et 5, 4 et 25, 7 et 9, l’expression proposée se réduit à

Réciproquement , on peut décomposer un facteur en plusieurs autres plus simples. Soit le produit

je remplace 35 par 7 X 5,15 par 3 x 5,8 par 2x2x2,

50 par 5x10, j’ai

51 l’on groupe ensuite chaque facteur 5 avec un facteur 2 , le produit se réduit à

ttft. Lorsque les facteurs d’un produit sont terminés par des zéros , on supprime ces zéros dans le calcul , puis on ajoute à la droite du produit autant de zéros qu'on en a supprimé dans les différents facteurs. Soit, par exemple, 246000 X 4700.

En remplaçant 246000 par 246 x 1000 et 4700 par 47 X 100, on a 246X47X100000 = 1156200000.

Il suffit de multiplier 246 par 47 et d’ajouter cinq zéros à la droite du produit.

Preuve.

3G. On sait que le produit ne change pas quand on change l’ordre des facteurs. Quand on aura effectué une multiplication, si l’on veut vérifier les calculs, on recommencera l’opération en prenant pour multiplicande le nombre qui servait

34 CHAPITRE IV. — IXyRE I.

précédemment de multiplicateur et réciproquement ; on devra retrouver le même résultat.