Soit à diviser 1730845 par

Pour faciliter le raisonnement , je forme d’abord un tableau renfermant les produits du diviseur par les neuf premiers nombres, et j’observe que ce tableau peut être calculé par additions successives comme la table de multiplication ; en ajoutant 738 à 738 on adenx fois le diviseur, soit 1470 ; en ajoutant 738 à ce nombre , on a trois fois le diviseur, soit 2*214 ; en ajoutant 738 à ce dernier nombre, on a 4 fois le diviseur, etc.

Ce tableau étant formé , je sépare sur la gauche du dividende autant de chiffres qu’il en faut pour avoir un nombre contenant le diviseur au moins une fois, mais ne le contenant pas dix fois. Comme les trois premiers chiffres donnent ici un nombre 173 fois plus petit que le diviseur, je prends un chiffre de plus, ce qui fait 1739. Ce nombre 1739, séparé sur la gauche du dividende , exprime des mille. Je cherche combien de fois ce nombre 1739 contient le diviseur; à l’inspection du petit tableau dont nous avons parlé, on voit de suite qu’il le contient 2 fois. Puisque le diviseur est contenu deux fois dans le nombre 1739, il est contenu 2 mille fois dans le nombre 1739 mille , qui est mille fois plus grand, et par

conséquent dans le dividende proposé ; j’écris donc 2 mille au quotient.

Je retranche du dividende 3 mille fois le diviseur. Deux fois le diviseur font 1476 ; deux mille fois le diviseur font 1 476 mille ; si l’on retranche ces 1476 mille des 1739 mille du dividende , il reste 263 mille , et si l’on retranche du dividende lui-même , il reste 263845.

Je cherche maintenant combien de fois ce reste 263845' contient encore le diviseur. Pour cela, je considère le nombre 263845 comme un second dividende, sur lequel je raisonne comme sur le dividende proposé. Je sépare sur la gauche de ce nombre les 2638 centaines, et je cherche combien de fois le diviseur est contenu dans le nombre séparé 263S ; à l’inspection du tableau, on voit qu’il y est contenu 3 fois. Puisque le diviseur est contenu 3 fois daus le nombre 2638, il est contenu 3 cents fois dans le nombre 263S centaines , qui est cent lois plus grand, et par conséquent dans le second dividende. J’écris donc 3 centaines an quotient.

Je retranche du second dividende 3 cents fois le diviseur; trois fois le diviseur fout 2214; trois cents fois le diviseur lont 2214 centaines que je retranche des 2638 centaines du second dividende , il reste 424 centaines. Si l’on retranche du second div idende lui-même , il reste 42445.

Je cherche combien de fois ce nouveau reste 42445 contient encore le diviseur. Pour cela, je considère le nombre *2445 comme un troisième dividende, sur lequel je raisonne comme sur les précédents. Je sépare sur la gauche de ce nombre les 4244 dizaines, et je cherche combien de fois le diviseur est contenu dans le nombre séparé 4244 : 0 y est cooteun 5 fois. Puisque le diviseur est contenu 5 fois dans le nombre 4244 , il est contenu cinquante fois dans le nombre 4244 dizaines , qui est dix fois plus grand , et par conséquent dams le troisième dividende : j’écris donc 5 dizaines au quotient.

Je retranche du troisième dividende cinquante fois le divi-

DIVISION

seur. Cinq fois le diviseur font 3690; cinquante fois font 3690 dizaines, que je retranche des 424 4 dizaines du troisième dividende, il reste 554 dizaines. Si l’on retranche du troisième dividende lui-même, il reste 5545.

Je cherche enfin combien de fois le diviseur est contenu dans ce reste 5545, que l’on considère comme un quatrième dividende. Il y est contenu 7 fois ; j’écris donc 7 unités au quotient.

Nous voici arrivés à un reste 379 fois plus petit que le diviseur. La division est terminée. Ainsi le diviseur est contenu dans le dividende proposé 2000, plus 300 fois, plus 50 fois , plus 7 fois; il est donc contenu en tout 2357 fois ; le quotient cherché est 2357.

4 / 8 . On voit que la méthode consiste à chercher combien de mille fois le diviseur est contenu dans les 1739 mille du dividende; combien de centaines de fois dans les 2038 centaines du reste; combien de dizaines de fois dans les 4244 dizaines du second reste, et enfin combien de fois dans le troisième reste 5545. On obtient ainsi successivement le chiffre des mille du quotient, celui des centaines, des dizaines et des unités.

Les nombres 1739, 2038, 4244, 5545, qui, divisés par le diviseur, donnent les chiffres successifs du quotient , s'appellent dividendes partiels. Comme il est inutile dans l’opération de considérer les dividendes complets , on n’écrira que les dividendes partiels.

44 CHAPITRE V. — IIVRE I.

Dans la pratique, on se dispense ordinairement de former d’avance le tableau des produits du diviseur par les neuf premiers nombres, et l’on effectue les divisions partielles par le procédé que nous avons indiqué précédemment (n° 39) . Après avoir séparé sur la gauche du dividende quatre chiffres pour former le premier dividende partiel 1739, je cherche combien de fois le diviseur est contenu dans ce premier dividende partiel. Les 7 centaines du diviseur sont contenues 2 fois dans les 17 centaines; j’essaie 2. Pour cela, je multiplie le diviseur par 2 et j’écris le produit 1470 sous le premier dividende partiel ; le chiffre 2 est bon , je l’écris au quotient.

Je retranche 1476 de 1739. On remarque que, si, à la droite du reste 263 , on abaisse le chiffre suivant 8 du dividende proposé, on forme le second dividende partiel 2638. Je cherche combien de fois le diviseur est contenu dans ce second dividende partiel; 7 est contenu 3 fois dans 26 ; j’essaie 3 ; pour cela je multiplie le diviseur par 3 et j’écris le produit 2214 sous le second dividende partiel; le chiffre 3 est bon , je l’écris au quotient.

Je retranche 2214 de 2638. Si, à la droite du reste 424, on abaisse le chiffre suivant 4 du dividende proposé, on forme le troisième dividende partiel 4244. Je cherche combien de fois le diviseur est contenu dans le troisième dividende partiel; 7 est contenu 6 fois dans 42; mais le chiffre 6 est trop fort à cause des retenues; j’essaie 5; pour cela je multiplie le diviseur par 5 et j’écris le produit 3690 sous le troisième dividende partiel ; le chiffre 5 est bon, je l’écris au quotient.

Je retranche 3690 de 4244. Si, à la droite du reste 554, on abaisse le dernier chiffre 5 du dividende proposé, on forme le dernier dividende partiel 5545. Je cherche combien de fois le diviseur est contenu dans ce dernier dividende partiel ; 7 est contenu 7 fois dans 55 ; j’essaie 7 ; pour cela je multiplie le diviseur par 7 et j’écris le produit 516(5 sous le dernier dividende partiel; le chiffre 7 est bon, je l’écris au quotient. L’opération est terminée; le quotient est 2357 et il reste 379.

pi VISION, 45

Nous pouvons maintenant énoncer la règle générale de la division :

Règle II. Pour diviser un nombre par un autre, on sépare sur la gauche du dividende autant de chiffres qu’il en faut pour former un nombre au moins égal au diviseur. Cette partie séparée, ou premier dividende partiel, divisée par le diviseur, donne le premier chiffre du quotient à partir de la gauche. A la droite du reste de cette première division on abaisse le chiffre suivant du dividende, ce qui donne le second dividende partiel; en le divisant par le diviseur, on obtient le second chiffre du quotient. A la droite du second reste, on abaisse le chiffre suivant du dividende proposé, ce qui donne le troisième dividende partiel. On continue de cette manière jusqu à ce qu’on ait abaissé tous les chiffres du dividende.

Remarques.

43 . Remarque I. Les dividendes partiels sont tous plus petits que dix fois le diviseur; mais il peut arriver qu’un dividende partiel, autre que le premier, soit plus petit que le diviseur ; dans ce cas, le chiffre correspondant du quotient est 0, et pour avoir le dividende partiel suivant, il sullit d’abaisser encore un chiffre.

Soit, par exemple , à diviser 29(5212 par h 8(5.

Je sépare quatre chiffres sur la gauche du dividende pour former le premier dividende partiel 2962; le diviseur étant contenu 6 fois dans ce premier dividende partiel , j’écris 6 centaines au quotient, et à la droite du reste 46 j’abaisse le chiffre suivant 1 du dividende proposé ; le second dividende

partiel 401 étant plus petit que le diviseur 4 SG, je mets 0 au quotient, et j’abaisse le chiffre suivant 2 pour former le troisième dividende partiel 4612,

44. Remarque II. Lorsque le quotient renferme un grand nombre de chiffres, il est avantageux de former les produits du diviseur par les neuf premiers nombres, comme nous avons fait d’abord ; l’opération marche beaucoup plus rapidement.

Exemple :

45 . Remarque III. Lorsque le dividende et le diviseur sont terminés par des zéros , on peut supprimer de part et d’autre un même nombre de zéros; le quotient ne change pas. Soit, par exemple, à diviser 377000 par 28600; laques^ tion revient à chercher combien de fois 286 centaines sont contenues dans 3770 centaines : il faudra donc diviser 3770 par 286 ; le quotient est 13 et il reste 52 centaines. Ainsi le

DIVISION. :t;t .47

quotient ne change pas , mais il faut ajouter à la droite du reste les deux zéros supprimés.

40 . Remarque IV. Quand on a trouvé un chiffre du quotient, il faut multiplier le diviseur par ce chiffre et retrancher le produit du dividende partiel. Pour abréger un peu l’opération , on a coutume d’effectuer la soustraction en même temps que la multiplication. Soit à diviser 325826421 par 4738. Je mets en regard les deux manières de procéder.

Quand on a trouvé le premier chiffre 6 du quotient, au lieu de multiplier le diviseur par 6, pour retrancher ensuite le produit du premier dividende partiel, on dit : 6 fois 8 font 48 unités, je ne peux les retrancher de 2 unités : j’ajoute au dividende 5 dizaines ou 50 unités, qui, avec les 2 unités, font 52 unités ; de 52 je retranche 48, il reste 4. Six fois 3 dizaines font 18 dizaines ; j’ai ajouté au nombre supérieur 5 dizaines; pour que la différence ne change pas, j’ajoute aussi 5 dizaines au nombre inférieur ; j’ai donc à retrancher 18 plus 5 ou 23 dizaines. J’ajoute 2 centaines ou 20 dizaines au nombre supérieur, qui, avec les 8 dizaines, font 28 dizaines;

48 CHAPITRE V. — r LIVRE J.

de 28 dizaines je retranche 23 dizaines, il reste 5 dizaines; etc.

On opère en disant : 6 fois 8 48, de 52 il reste 4 et

retiens 5 ; 6 fois 3 48 et 5 23, de 28 il reste 5 et retiens 2 ; 6 fois 7 42 et 2 44, de 45 il reste 1 et retiens

4 ; 8 fois 4 24 et 4 28, de 32 il reste 4, etc.

Mais cette manière de procéder n’offre pas un bien grand avantage ; elle , dispense, il est vrai, d’écrire les produits, ce qui abrège un peu l’opération; mais elle présente cet inconvénient, que lorsqu’on retrouve au quotient un chiffre déjà obtenu, il faut recommencer une multiplication déjà faite. C’est ce qui a lieu dans l’exemple actuel; on retrouvé à la fin les deux premiers chiffres 6 et 8 ; par le procédé ordinaire, il suffit d’écrire de nouveau les produits 28428 et 37904, déjà calculés, tandis que par l’autre procédé, il faut les calculer une seconde fois. Les élèves pourront donc s’en tenir à la première méthode.

Preuve.

49 . Nous avons défini la division, une opération qui a pour but de chercher combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Supposons que le diviseur soit contenu exactement dans le dividende ; dans ce cas, le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient, et l’on voit que la division peut être définie ainsi : étant donné te produit de deux facteurs et l'un des facteurs, trouver l’autre. Le produit donné est le dividende, le facteur donné est le diviseur , le facteur cherché est le quotient.

Il en résulte une manière très-simple de vérifier la division. En multipliant le diviseur par le quotient on devra reproduire le dividende.

Si le diviseur n’est pas contenu exactement dans le dividende, le dividende contient le diviseur un certain nombre de fois, plus un reste moindre que le diviseur ; il est clair, dans ce cas, qu’en multipliant le diviseur par le quotient, et ajoutant le reste au produit, on devra encore reproduire le

DIVISION

dividende. Je vérifie de cette manière le dernier exemple de division

On retrouve le dividende ; il est très-probable que l’opération est exacte.

POU« DIVISER UN NOMBRE PAR UN PRODUIT DE PLUSIEURS FACTEURS, IL SUFFIT DE DIVISER SUCCESSIVEMENT PAR LES FACTEURS DE CE PRODUIT.

4#. Soit à diviser 60 par le nombre 12 qui est le produit * des deux facteurs 3 et 4 ; ceci revient à diviser 60 par 3, ce qui donne 20, puis 20 par 4, ce qui donne 5. En effet, si l’on multiplie 5 successivement par 4 et par 3, on reproduit 60 ; mais on sait que multiplier un nombre successivement par les deux facteurs 4 et 3 revient à le multiplier par leur produit 12; ainsi 60 est le produit de 5 par 12, et par conséquent 5 est le quotient de 60 par 12.

Soit de même à diviser 120 par le nombre 24, produit des trois facteurs 2, 3, 4. Ceci revient à diviser, d’abord par 2, ce qui donne 60, puis par 3, ce qui donne *20, puis par 4, ce qui donne 5. En effet, si l’on multiplie 5 successivement par 4, 3, 2, on reproduit 120; mais multiplier successivement par ces trois facteurs revient à multiplier par leur produit 24 ; donc 120 est le produit de 5 par 24, et par conséquent le quotient de 120 par 24 est 5.

Applications de la division.

40 . Nous allons donner quelques exemples des différentes sortes de questions que l’on peut résoudre par la division.

1“ On achète pour 35 francs de drap, à 7 francs le mètre. Combien de mètres a-t-on achetés ? 11 est clair que, autant de fois 7 francs sont contenus dans 35 francs, autant de mètres on a achetés. Or 7 est contenu 5 fois dans 35 ; donc on a acheté 5 mètres de drap.

2° On a acheté 7 mètres de drap pour 35 francs. Quel est le prix du mètre ? Si le mètre coûtait 1 franc, les sept mètres coûteraient 7 francs ; si le mètre coûtait 2 francs, les 7 mètres coûteraient deux fois plus, c’est-à-dire deux fois 7 francs; si le mètre coûtait 3 francs, les 7 mètres coûteraient 3 fois plus, c’est-à-dire 3 fois 7 francs ; etc. Ainsi, autant de fois 7 francs seront contenus dans 35 francs, autant de francs coûtera le mètre. Puisque 7 est contenu 5 fois dans 35, le mètre de drap coûte 5 francs.

3° Partager 28 pommes entre à enfants. Je prends h pommes, et j’pn donne une à chaque enfant ; j’en prends h apures, pt j’en donne une à chaque enfant, etc. Autant de fois h pommes seront contenues dans 28 pommes, autant de pommes recevra chaque enfant. Puisque 4 est contenu 7 fojs dans 28, chaque enfant aura 7 pommes pour sa part.

50 . En général, le partage d’un nombre en plusieurs parties égales revient à une division. Comme nous l’avons expliqué tout à l’heure, le partage de 28 en 4 parties égales revient à chercher combien de fois 4 est contenu en 28 ; car si l’on prend 4 unités dans le dividende et qu’pn les distribue entre 4 personnes, chacune en aura une ; ainsi, autant de fois le nombre à partager contiendra 4 unités, autant d’unités contiendra chaque part.

Il en résulte un moyen très-rapide d’effectuer la division par l’un des neuf premiers nombres. Diviser un nombre par 2 revient, comme nous Payons tjit, à le partager en

DIVISION

deux parties égales, ou à en prendre la moitié. De même, diviser un nombre par 3, par 4, par 5 et par 6, etc., revient à en prendre le tiers, le quart, le cinquième, le sixième, etc. Soit à diviser 6956 par 2.

On dira : la moitié de 6 mille est 3 mille que l’on écrit audessous de 6 ; la moitié de 9 centaines est 4 centaines pour 8, et il reste une centaine, qui, ajoutée aux 5 dizaines du nombre proposé, fait 15 dizaines; la moitié de 15 dizaines est 7 dizaines pour 14, etil reste une dizaine, qui, avec les 6 unités, fait 16 unités ; la moitié de 16 unités est 8 unités. Ainsi la moitié du nombre proposé, ou le quotient cherché, est 3478.

Je divise de la même manière 395472 par 7,

On dira en abrégeant : le septième de 39 est 5 pour 35, et il reste 4 ; le septième de 45 est 6 pour 42, et il reste 3 ; le septième de 34 est 4 pour 28, et il reste 6 ; le septième de 67 est 9 pour 63, et il reste 4 ; le septième de 42 est 6. Le quotient demandé est 56496.

Exercices.

1° Un père laisse en mourant une fortune de 74640 francs à partager entre 8 enfants. Quelle est la part de chacun ?

On prendra le huitième de la fortune totale.

Réponse : 9330 frapes.

2° On a acheté pour 585 francs de drap à raison de 1 3 f rancs le mètre. Combien de mètres a-t-on achetés î

Autant de fois 13 francs sont contenus dans 585 francs, autant de mètres on a achetés. On divisera donc 585 par 13.

Réponse : 45 mètres.

3° On a acheté 320 mètres d’étoffe pour 5760 francs. A combien revient le mètre ?