CHAPITRE I

DIVISIBILITÉ

Définitions*

ü I . Lorsqu’un nombre contient exactement un autre nombre, on dit que le premier est divisible par le second. Ainsi 28, contenant 7 quatre fois exactement, est divisible par 7.

On appelle multiples d’un nombre les produits qbe l’on obtient en répétant ce nombre deux fois, trois fois, etc. Les multiples de 7 sont, deux fois 7 ou 14, 3 fois 7 ou 21 , etc. Le nombre 7 lui-même,' on une fois 7, est considéré comme le premier multiple de 7.

Tout multiple d’un nombre, se composant d’un certain nombre de fois ce nombre, est divisible par ce nombre, et réciproquement, tout nombre divisible par un autre, est un multiple de ce dernier. Il est évident que la somme ou la différence de deux nombres divisibles par un troisième est divisible par ce troisième. On ajoute, par exemple, les deux nombres 21 et .15, divisibles par 7 ; la somme, se composant de trois fois 7, plus cinq fois 7, est égale à huit fois 7, et par conséquent est divisible par 7.

Mais si l'on ajoute deux nombres, l’un divisible par un troisième, l’autre non divisible, la somme ne sera pas divisible. On ajoute, par exemple, les deux nombres 21 et 38, le premier divisible par 7, le second non divisible; le noin-

DIVISIBILITÉ

bi-e 38 finale 3 fois 7, plus un reste 3 ; la somme Se Composera d’un certain nombre de fois 7, plus du même reste 3s Ainsi dans ce cas, la somme n’est pas divisisible, et elle fournit le même reste que la partie non divisible,

RESTES DÈ LA DIVISION D’UN NOMBRE ENTIER PAR 2, 3, S, 9. = CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ PAR CHACUN DE CES NOMBRES.

Divisibilité par 2.

53. Les nombres divisibles par 2 s’appellent nombres pairs ; ceux qui ne le sont pas s’appellent nombres impairs. Si l’on considère la suite des nombres,

on voit que les nombres pairs et les nombres impairs se succèdent alternativemeiit. Les nombres 2, /j , 6, 8, sont pairs; les nombres 1, 3, 5, 7, 9, sont impairs. Tout nombre impair égale un nombre pair, plus un.

Nous allons démontrer qu’un nombre est pair lorsqu’il est terminé par un zéro ou par l’wn des chiffres pairs, 2, 4, 6, 8y et qu’il est impair lorsqu’il est terminé par l’un des chiffres impairs, 1 , 3, 5, 7, 9.

Considérons d’abord un nombre terminé par un zéro, par exemple le nombre 230. Ce nombre égale 23 fois 10 ; mais 10 égale 5 fois 2 ; donc 230 égale un certain nombre de fois 2, et par conséquent est divisible par 2.

Soit maintenant un nombre, comme 236, terminé par un chiffre pair. Ce nombre se compose de deux parties, l’une 230 divisible par 2, l’autre 6, aussi divisible par 2 ; donc ce nombre est lui-même divisible par 2.

Mais si le nombre est terminé par un chiffre impair, il n’est pas divisible par 2. Soit, par exemple, le nombre 237, terminé par le chiffre impair 7 ; ce nombre 237 égale le nombre pair 236, plus un ; c’est donc un nombre impair. •

En appliquant cette règle, on voit immédiatement que les

nombres 150, 78, 1004, sont pairs, et que les nombres 21, 154, 67, sont impairs.

Divisibilité par 5.

53. En examinant la série des nombres, on reconnaît que les multiples de 5 se succèdent de 5 en 5. Le premier multiple que l’on rencontre est le nombre 5 lui-mème; après le nombre 5, viennentles quatres nombres 6, 7, 8, 9, ou 5 1, 5 -(- 2, 5 -j- 3, 5 -j- 4 ; ces nombres ne sont pas divi-

sibles par 5 et donnent pour restes les quatres premiers nombres 1, 2, 3, 4. On trouve ensuite le nombre 5 — }— 5 ou 2 fois 5, c’est un nouveau multiple de 5. Les quatre nombres suivants, étant égaux à 10— j- J , 10-)— 2, lO-f-3, 10-)- 4, ne sont j)as divisibles , et donnent pour restes les quatre premiers nombres ; vient ensuite 10 -j- 5 ou 3 fois 5, nouveau multiple de 5. Ce raisonnement est général ; les quatre nombres qui suivent un multiple quelconque de 5 sont égaux à ce multiple, plus 1, 2, 3, 4; le cinquième nombre égale le multiple précédent, plus 5 , c’est un nouveau multiple.

Nous allons faire voir qu’un nombre est divisible par 5 lorsqu’il est terminé par ü on par 5.

Considérons d’abord un nombre tel que 230, terminé par un zéro. Les raisonnements que nous avons faits sur le diviseur 2 s’appliquent au diviseur 5. Le nombre 230 égale 23 fois 10; mais 10 égale 2 fois 5 ; donc 230 égale un certain nombre de fois 5, et par conséquent est divisible par 5.

Soit maintenant un nombre comme 235, terminé par 5. Ce nombre se compose de deux parties, l’une 230 divisible par 5, l’autre 5 aussi divisible ; donc ce nombre est luimême divisible par 5.

Mais si le nombre n’est pas terminé par 5 ou par 0, il n’est pas divisible par 5. Par exemple, le nombre 243 égale le nombre 240 divisible par 5, plus le reste 3. De même le nombre 247 égale le nombre 245, divisible par 5, plus le reste 2. On voit donc que dans ce cas le reste est le même que celui fourni par le dernier cliiil're.

DIVISIBILITÉ

Divisibilité par 9.

54. Je remarque d’abord qu’un nombre composé de plusieurs 9 est un mulliple de 9. Ainsi 99 égale 9 X 11 ; de même 999 égale 9 x 111 ; et ainsi de suite.

Considérons un nombre quelconque, 15257. Ce nombre peut être décomposé de la manière suivante :

La seconde partie 50 égale 5 fois 10 ; mais 10 égale 9 plus 1 ; donc 50 égale 5 fois 9, plus 5 fois un, c’est-à-dire un multiple de 5) plus 5. I)e même, la troisième partie 200 égale 2 fois 100 ; mais 100 égale 99 plus 1 ; donc 200 égale 2 fois 99, plus 2 fois un, c’est-à-dire un multiple de 9 plus 2. La quatrième partie 3000 égale 3 fois 1000; mais 1000 égale 999 plus 1 ;donc 3000 égale 3 fois 999, plus 3 fois un, c’est-àdire un mulliple de 9 plus3. Enfin la cinquième partie 10000 égale 9999 plus 1, c’est-à-dire un multiple de 9 plus 1. On a ainsi :

13257 = mult. de 9 + 18

En ajoutant les multiples de 9 on obtient un multiple de 9 ; le nombre proposé égale donc un multiple de 9, plus la somme de ses chiffres. Si la somme des chiffres est divisible par 9, le nombre sera lui-même divisible par 9. C’est ce qui a lieu dans l’exemple actuel ; la somme des chiffres du nombre 13257 est 18 ou 2 fois 9; ce nombre, étant égal à un multiple de 9, plus 18 qui est un autre multiple de 9, est lui-même divisible par S).

Mais si la somme des chiffres n’est pas divisible par 9, le nombre n’est pas divisible. Soit, par exemple, le nombre 2085. En vertu des raisonnements précédents, ce nombre égale un multiple de 9, plus la somme de ses chiffres 21 ; mais * 21 n’est pas divisible par 9 ; le nombre, se composant de

deux parties , l’une divisible par 9, l’autre non divisible , n’ est pas divisible. Dans ce cas, on peut dire que le rèste de la division du nombre par 9 est le même que le reste fourni par la somme de ses chiffres. Car, la somme des chiffres 21 étant égale à 2 fois 9, plus un reste 3, le nombre proposé 2685 contiendra un certain nombre de fois 9, plus le même reste 3.

On conclut de ce qui précède : 1° Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.

2° Lorsque la somme des chiffres n’est pas divisible par 9, le nombre n’est pas divisible, et le reste est celui que fournit la somme des chiffres.

En appliquant cette règle, on voit de suite que les nombres 27, 81, 135, 2403 sont divisibles par 9; que les nombres 52, 41.3, 2301 ne sont pas divisibles et donnent respectivement pour restes 7, 8, 6.

On abrège l’addition des chiffres en retranchant 9 successivement dans le cours de l’opération, toutes les fois que c’est possible ; car, en retranchant 9, on ne change pas le reste. Pour cela, toutes les fois que la somme surpasse 10, on ajoute les deux chiffres qui la composent, ce qui donne le reste. Soit le nombre 6753897 ; négligeant le second chiffre 9, -j’ajoute 7 et 8, ce qui fait 15 ; mais 15 égale 9, plus la somme de ses chiffres 6 ; 6 et le chiffre suivant 3 font 9, que je néglige; 5 et 7 font 12, reste 3 et 6 font 9. Le nombre est divisible par 9.

On appliquera de même au nombre 28067895746, en disant : 6 et 4... 10; reste! et 7... 8 et 5... 13, reste4 et 8../ 12, reste 3 et 7... 10, reste 1 et 6... 7 et 8... 15; reste 6 et 2... 8. Le nombre n’est pas divisible par 9 et donne pdur reste 8.

Divisibilité par 3.