Nous avons démontré qu’un nombre quelconque

DIVISIBILITÉ

égale un multiple de 9, plus la somme de ses chiffres. Puisque 9 égale 3 fois 3, un multiple de 9 est évidemment multiple de 3. 11 en résulte qu'un nombre quelconque égale un multiple de 3, plus la somme de ses chiffres.

Si la somme des chiffres est divisible par 3, le nombre est lui-même divisible par 3. Soit, par exemple, le nombre 174. D’après ce que nous avons dit, ce nombre égale un multiple de 3, plus la somme de ses chiffres 12 ; mais 12 égale 4 fois 3 ; le nombre 174, étant égal à la somme de deux multiples de 3, est lui-même divisible par 3.

Mais si la somme des chiffres n’ëst pas divisible par 3, le nombre n’est pas divisible; Examinons, par exemple, le nombre 527. Ce nombre égale un multiple de 3, plus la somme de ses chiffres 14 ; mais 14 n’est pas divisible par 3, le nombre proposé , se composant de deux parties, l’une divisible par 3, l’autre non divisible, n’est pas divisible. Le reste de a division ne peut être que l’un des deux nombres 1 et 2, et sera donné par la somme des chiffres. Dans l’exemple actuel, la somme des chiffres 14 étant égale à 4 fois 3, plus un reste 2, le nombre 527 contiendra un certain nombre de fois 3, plus le même reste 2.

Ainsi : 1° Un nombre est divisible par 3, lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.

2° Lorsque la somme des chiffres n’est pas divisible par 3, le nombre n’est pas divisible , et le reste est celui que fournit la somme des chiffres.

En appliquant cette règle, on voit (pie les nombres 54,

. 162, 1251, 2010 sont divisibles par 3 ; que les nombres 31, 62, 145, 2056 ne sont pas divisibles et donnent respectivement les restes 1, 2, 1, 1.

Dans la pratique, on abrégera l’addition des chiffres en négligeant les multiples de 3. Soit le nombre 6519; négligeant 9 et 6 qui sont des multiples de 3, on ajoutera 1 et 5, ce qui donne 6 ; le nombre est divisible par 3. De même pour le nombre 267928: on dira dira Set 2.., 10, reste l,et

7... 8 et «... là, reste 5 et 2... 7, reste i ; le nombre n’est pas divisible par 3 et donne pour reste 1.

Preuve de la multiplication.

&6. Les restes fournis par le diviseur 9 donnent une manière très-simple de vérifier si une multiplication a été bien faite. Je considère le produit de 26à par 47. Le multiplicande 26à étant égal à un multiple de 9 plus 3, le produit contient 47 fois ce multiple, c’est-à-dire un certain nombre de fois 9, plus 47 fois 3 ou 47 X 3. D’un autre côté, le nombre 47 étant égal à un multiple de 9 plus 2 , le produit de 47 par 3 contient 3 fois ce multiple, c’est-à-dire un certain nombre de fois 9, plus 3 fois 2 ou 0. En définitive, le produit de 204 par 47 contient un certain nombre de fois 9, plus le reste «, et ce reste est égal au produit des restes 3 et 2 fournis par les deux nombres. Pour vérifier la multiplication, on fera la somme des chiffres du produit, et l’on verra si l’on trouve bien le reste «.

Considérons encore la multiplication suivante :

Le multiplicande et le multiplicateur, par rapport au diviseur 9, donnent les restes 6 et 8. En vertu du raisonnement précédent, le produit contient un certain nombre de fois 9, plus le produit des restes 6 X 8 ou 48 ; mais ce nom-

bre 48 égale un multiple de 9 plus 3 ; donc finalement le produit contiendra un certain nombre de fois 9 plus le reste 3. C'est effectivement ce qu’on trouve en faisant la somme des chiffres du produit.

Ainsi, on vérifie la multiplication en voyant si le produit donne le môme reste par rapport au diviseur 9 que le produit des restes fournis par le multiplicande et le multiplicateur. Cependant, quand cette vérification a lieu, on ne peut affirmer d’une manière absolue que le résultat soit exact. Car, si, dans les calculs, ou avait commis une erreur qui fût exactement un multiple de 9, cette erreur n’ayant aucune influence sur les restes, on ne l’apercevrait pas par ce procédé.