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Multiplication.
90 . Cas OU LE MULTIPLICATEUR EST ENTIER. La définition que nous avons donnée de la multiplication subsiste dans le cas où le multiplicateur est un nombre entier, le multiplicande étant d’ailleurs une quantité quelconque. Multiplier une quantité par un nombre entier, c’est la répéter autant (le fois qu'il y a d’unités dans le nombre entier. Multiplier une longueur par A, c’est la répéter quatre fois, c’est ajouter à la suite les unes des autres quatre longueurs égales à la longueur donnée.
Soit à multiplier par h la fraction f. Il s’agit de répéter h fois le multiplicande; à fois 5 septièmes font 20 septièmes , c est-à-dire la fraction Ainsi ,on multiplie une fraction par un nombre entier en multipliant le numérateur par ce nombre entier.
De même le produit de ~ par A est ~ ; mais on peut simplifier cette fraction en divisant les deux termes par A, ce qui donne f pour le produit demandé. On serait arrivé directement à ce résultat en remarquant que l’on rend la fraction ~ quatre fois plus grande en divisant son dénominateur par A.
Si l’on avait à multiplier un nombre fractionnaire par un
nombre entier, on multiplierait d'abord la fraction, puis l’entier, en ajoutant au produit l’entier fourni par la fraction. Ainsi :
On opère en disant : 4 fois font ^ ou 2-f ' ; je pose * et retiens 2 unités; 4 fois 3 font 12 et 2 font 14.
01 . Cas ou i.e multiplicateur est fractionnaire. La définition de la multiplication, dont nous nous sommes servis jusqu’à présent, n’a plus de sens quand le multiplicateur est une fraction ; il devient nécessaire de donner à cette définition une signification plus étendue. Nous dirons :
Multiplier, c’est répéter plusieurs fois une partie déterminée du multiplicande.
Ainsi, multiplier par f, c’est répéter 3 fois la cinquième partie du multiplicande. Multiplier par c’est prendre la cinquième partie du multiplicande.
Cette définition nouvelle ne comporte plus nécessairement l’idée d’augmeution. Si le multiplicateur est plus grand que l’unité, le produit sera en effet plus grand que le multiplicande; mais si le multiplicateur est plus petit que l’unité, le produit sera plus petit que le multiplicande. La multiplication ainsi entendue n’est plus une opération simple, elle contient une double opération : 1° division du multiplicande en parties égales ; 2° répétition d’une des parties. C’est la combinaison d’une division et d’une multiplication proprement dites.
J’explique maintenant pourquoi cette double opération a été appelée multiplication. Proposons-nous la question suivante : combien coûte une certaine quantité d’étoffe, connaissant le prix du mètre? Si la quantité d’étofle est un nombre entier de mètres, 8 mètres par exemple, il faut répéter le prix du mètre 8 fois ; c’est là une multiplication dans l’acception ordinaire du mot. Si l’on demande maintenant
combien coûtent ■} de mètre, il faudra répéter 3 fois Je cinquième du prix d’un mètre. L’opération qu’il faut faire dans le second cas, pour trouver le prix de la quantité d’étoffe, a été appelée par analogie multiplication.
Soit donc à multiplier J par D’après notre définition, il faut répéter trois fois la cinquième partie du multiplicande. On obtient la cinquième partie du multiplicande en multipliant le dénominateur par 5, ce qui donne j*, ; on répète ensuite trois fois cette partie en multipliant le numérateur par 3. Le produit cherché est donc ou jj. Ainsi :
Rèole. Pour multiplier (feux fractions, on multiplie numérateur par numérateur , dénominateur par dénominateur.
Remarques.
99. Tous les cas qui peuvent se présenter se ramènent au précédent.
Si l’on a h multiplier un entier par une fraction, en mettant le nombre entier sous la forme d’une fraction ayant pour dénominateur l’unité, on aura
On serait d’ailleurs arrivé au même résultat en prenant directement les trois cinquièmes du multiplicande.
Si l’on veut multiplier un nombre fractionnaire par une fraction ou par un nombre fractionnaire, on mettra préalablement les nombres fractionnaires sous la forme de fraction. Ainsi :
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03. Les propriétés des produits de plusieurs facteurs, que nous avons démontrées, lorsque les facteurs sont entiers (n°' 30 à 34) , subsistent quand les facteurs sont fractionnaires. J’examine d’abord la propriété fondamentale, savoir: le produit ne change pas quand on intervertit l’ordre des facteurs. Le produit
est une fraction qui a pour numérateur le produit des numérateurs et pour dénominateur le produit des dénominateurs. Or, si l’on intervertit l’ordre des facteurs fractionnaires, on intervertit simplement l’ordre des facteurs entiers qui composent les deux termes de la fraction produit, ce qui ne change pas la valeur de ces deux termes.
La propriété fondamentale étant ainsi généralisée, toutes ses conséquences le sont par là même. Ainsi, dans un produit de facteurs quelconques, on peut grouper deux facteurs en un seul, et réciproquement décomposer un facteur en plusieurs autres.
lorsqu’on aura à calculer un produit de fractions , on aura soin de supprimer les facteurs communs avant de commencer les multiplications. Ainsi, dans Je produit précédent, on aperçoit au numérateur et au dénominateur les facteurs communs 7, 4, 3, 40, que l’on supprime; de cette manière on obtient immédiatement le résultat sous la forme la plus simple
Division.
34 . Voici la définition générale de la division : Étant donnés un produit de deux /'acteurs et l’un des facteurs, trouver l’autre. Le produit donné est le dividende, le facteur donné le diviseur; le facteur cherché s’appelle qnntient.
Quand il s’agissait de nombres entiers, nous avons considéré la division comme ayant pour but de chercher combien
9fi CHAPITRE I. — LIVRE III.
de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Lorsque le dividende contient exactement le diviseur, il est effectivement égal au produit du diviseur par le quotient; dans ce cas, le quotient est entier.
Mais, quand le diviseur n’est pas contenu exactement dans le dividende, le quotient est fractionnaire. Soit d’abord à' diviser 5 par 7 ; le quotient sera exprimé par la fraction * ; car le produit du diviseur 7 par la fraction * est égal à cinq fois la septième partie du diviseur 7, ou cinq fois l’unité , ce qui donne le dividende 5. Ainsi, une fraction exprime le quotient de son numérateur par son dénominateur ; c’est pourquoi le signe de la fraction, le trait horizontal, a été adopté pour indiquer la division ; on place au-dessus le dividende, au-dessous le diviseur.
Soit encore à diviser 31 par 7 ; le diviseur est contenu quatre fois dans le dividende, et il y a un reste 3. Comme le rote 3, divisé par 7, donne la fraction -, le quotient cherché sera exprimé par le nombre fractionnaire l\ + y ; car si l’on multiplie le diviseur par ce nombre fractionnaire, on a h fois 7, plus trois fois la septième partie de 7, c’est-à-dire plus le reste 3, et l’on reproduit le dividende. Ainsi , dans la division des nombres entiers, on se borne à chercher la partie entière du quotient ; pour compléter le quotient, il suffit d’ajouter une fraction ayant pour numérateur le reste de la division et pour dénominateur le diviseur.
05 . Cas oit le diviseur est entier. Soit à diviser la fraction -J- par 3. Puisque le quotient, multiplié par le diviseur 3, ou répété 3 fois, doit reproduire le dividende, ce quotient est 3 fois plus petit que le dividende. Or, on sait que l’on rend une fraction trois fois plus petite en multipliant son dénominateur par 3 ; le quotient cherché est donc .* 3 ou Ainsi, on divise une fraction par un nombre entier en multipliant le dénominateur de la fraction par ce nombre entier.
Quand le numérateur de la fraction est divisible par le
nombre entier, on effectue la division d’une manière plus prompte , en divisant le numérateur par le nombre entier. Par exemple , le quotient de la fraction * par 3 est la fraction f. Car on sait que l’on rend une fraction trois fois plus petite en divisant son numérateur par 3.
Soit à diviser le nombre fractionnaire 1 7 * par 5. On dira : ;le cinquième de 17 est 3 pour 15 et il reste deux unités, qui, converties en septièmes et ajoutées aux quatre septièmes, donnent^; le cinquième de cette fraction est |f. Le quotient cherché est donc 3 -f- ii.
©©. Cas où le diviseur est fractionnaire. Proposonsnous d’abord la question suivante : f de mètre d’étolfe ont coûté 15 francs ; trouver le prix du mètre. Puisque 5 huitièmes de mètre ont coûté 15 francs, un seul huitième coûtera 5 fois moins, c’est-à-dire 3 francs ; un mètre coûtera 8 fois plus qu’uu huitaine, c’est-à-dire 3x8 ou 24 francs.
Proposons-nous encore cette question : -* de mètre d’étolfe ont coûté — de franc; trouver le prix du mètre. Puisque 5 huitièmes de mètre ont coûté ~ de franc, un seul huitième coûtera 5 fois moins, c’est-à -dire 15x -;uu mètre coûtera 8 fois plus qu’un huitième , c’est-à-dire Or cette opération est une division dans laquelle ~ est le dividende ,
| le diviseur, le prix du mètre le quotient; car le prix du mètre, multiplié par la quantité d’étoffe achetée ■*, doit reproduire la somme dépensée de franc.
Reprenons maintenant le raisonnement d’une manière abstraite. Diviser J, par \ , c’est chercher un quotient qui , multiplié par le diviseur - , reproduise le dividende-, 7 , . Mais multiplier une quantité par {, c’est en prendre 5 fois la huitième partie ; donc les 5 huitièmes du quotient égalent le dividende un seul huitième vaut 5 fois moins, c’est-àdire—^; le quotient entier vaut 8 fois plus que son huitième, c’est-à-dire ou Tel est le quotient demandé; on l’obtient , comme on voit, en multipliant le dividende
CHAPITBE I. — LIVRE III.
-/r par le diviseur renversé D’où l’on déduit la règle suivante :
Règle. On divise une quantité par une fraction en la multipliant par le diviseur renversé.
Remarques.
9Ï, La règle précédente comprend tous les cas de la division. Lorsque le diviseur est un entier, 5 par exemple , le quotient égale la cinquième partie du dividende, ou le produit du dividende par la fraction i-; or cette fraction peut Être considérée comme l’entier -f renversé.
De même, diviser par c’est la même chose que multiplier par 5.
Si le diviseur et le dividende sont des nombres fractionnaires , on les mettra préalablement sous forme de fractions.
0 H, De même que, par l’extension donnée à la définition, la multiplication ne comporte plus en elle l’idée d’augmentation, de même la division ne comporte plus l’idée de diminution. Puisque diviser revient à multiplier par le diviseur renversé, on voit que, si le diviseur est plus grand rjue l’unité , le quotient sera plus petit que le dividende, mais que, si le diviseur est plus petit que l’unité, le quotient sera plus grand que le dividende.
On se fera une idée très-nette de la division en considérant que le quotient exprime combien de fois le dividende contient le diviseur cl combien de parties du diviseur. Si le quotient est un nombre entier 5 , le dividende , étant égal
au produit du diviseur par le quotient 5, ou au diviseur répété 5 fois , contient évidemment 5 fois le diviseur. Si le quotient est une fraction le dividende , étant égal au diviseur multiplié par i, contient trois fois la cinquième partie du diviseur. De même, un quotient fractionnaire 4 -}- ?■ signifie que le dividende contient quatre fois le diviseur, plus trois fois la cinquième partie du diviseur. En un mot , le quotient exprime la mesure de la quantité dividende, quand on prend la quantité diviseur pour unité.
D’après cela, il est clair que, si l’on rend le dividende un certain nombre de fois plus grand , le quotient devient le même nombre de fois plus grand, et que, si l’on rend le diviseur un certain nombre de fois plus grand , le quotient devient le même nombre de fois plus petit. Il en résulte que le quotient ne change pas quand on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre.
