OPÉRATIONS
Puisque les nombres décimaux sont composés, comme les nombres entiers, d’unités de dix en dix fois plus grandes , et s’écrivent sous la même forme, les opérations, que Von a appris à effectuer sur les nombres entiers, s’exécutent de la même manière sur les nombres décimaux.
Addition.
106 - L’addition des nombres décimaux s’effectue comme telle des nombres entiers. On écrit les nombres décimaux les uns au-dessous des autres, de manière que les unités de
nombres décimaux.
même ordre soient dans une même colonne verticale , et, par conséquent, que les virgules se correspondent; puis on additionne les chiffres contenus dans les colonnes successives, en commençant par la droite. Ainsi, soit à additionner les nombres 27,058 — 8,49 — 0,067; on les dispose comme il suit :
Additionnant d’abord les millièmes , on dira : 8 et 7 font 15 millièmes, je pose 5 millièmes au-dessous de la colonne des millièmes, et je reporte 1 centième à la colonne suivante. La colonne suivante donne 21 centièmes, je pose 1 centième et je reporte 2 dixièmes ; et ainsi de suite.
Soustraction .
iOl. La soustraction des nombres décimaux s’effectue comme celle des nombres entiers. On écrit le plus petit nombre au-dessous du plus grand , de manière que les virgules se correspondent ; puis on retranche chaque chiffre inférieur du chiffre supérieur correspondant.
De 25,895 retrancher 12,463. On écrira
De 5 millièmes j’ôte 3 millièmes , il reste 2 millièmes que j’écris au-dessous de la colonne des millièmes ; de 9 centièmes j’ôte 6 centièmes , il reste 3 centièmes que j’écris, etc.
Lorsqu’un chiffre inférieur est plus grand que le chiffre supérieur correspondant , on lève la difficulté comme pour les nombres entiers.
De 20,805 retrancher 9,728.
De 5 millièmes on ne peut ôter 8 millièmes ; j’ajoute au nombre supérieur 10 millièmes, ce qui fait 15 millièmes, dont on peut retrancher 8. Afin que la différence ne change pas, j’ajoute la même quantité ou 1 centième au nombre inférieur, de sorte que par la pensée je remplace 2 par 3.
De 10,5 retrancher 9,783.
On imaginera, mais sans les écrire, deux zéros à la droite du 5.
Multiplication des nombres décimaux.
Je vais examiner successivement le cas où le multiplicateur est un nombre entier, et celui où il est un nombre décimal.
108 . Cas où le multiplicateur est entier. Soit à multiplier 6,45 par 27. 11 s’agit de répéter le multiplicande 27 fois ; or le multiplicande égale 645 centièmes ; pour répéter 645 centièmes Tl fois, il suffit de multiplier le nombre entier 645 par 27, ce qui donnera pour résultat 17415 centièmes, c’est-à-dire le nombre décimal 174,15. En répétant des centièmes , on a des centièmes ; ainsi le produit d’un nombre décimal par un nombre entier renferme autant de chiffres décimaux que le multiplicande.
1 09 . Je suppose maintenant que l’on ait à multiplier un nombre décimal 4,576 par un nombre décimal 2,38. Puisque le multiplicateur est égal à 238 centièmes, la question revient à répéter 238 fois la centième partie du mullipli-
NOMBRES DÉCIMAUX
cande ; or on obtient la centième partie du multiplicande en reculant la virgule de deux rangs vers la gauche , ce qui donne 0,04576 ou 4576 cent-millièmes ; pour répéter cette quantité 238 fois , il suffit de multiplier le nombre entier 4576 par 238, ce qui donne 1089088 cent-millièmes , c’està-dire le nombre décimal 10,89088.
Le produit renferme autant de chiffres décimaux que le nouveau multiplicande 0,04576 ; or on forme ce dernier en reculant la virgule , dans le multiplicande proposé, d’autant de rangs vers la gauche qu’il y a de chiffres décimaux dans le multiplicateur , donc le nouveau multiplicande , et par conséquent le produit, renferment autant de chiffres décimaux qu’il y en a dans le multiplicande et dans le multiplicateur proposés. On en conclut :
Règle. Pour mult iplier deux nombres décimaux l’un par l’autre, on effectue la multiplication comme s’il n’y avait pas de virgule, puis on sépare par une virgule sur la droite du produit autant de chiffres décimaux qu’il y en a dans le multiplicande et dans le multiplicateur proposés. On dispose l’opération de la manière suivante : .
11 0. On serait arrivé immédiatement à cette règle générale , en mettant les nombres décimaux sous forme de fractions ordinaires , et en leur appliquant la règle démontrée pour la multiplication des fractions ordinaires. Ainsi
On voit qu’il faut multiplier les deux nombres entiers obtenus en effaçant la virgule , puis diviser le résultat par lOOOOO. Or cette division s’effectue en séparant par une virgiüe suria droite du résultat autant de chiffres décimaux qu’il y a de zéros, c’est-à-dire autant qu’il y a de chiffres décimaux dans le multiplicande et dans le multiplicateur.
Division.
J’examine successivement le cas où le diviseur est entier et celui où il est fractionnaire.
ili. Cas où le diviseur est entier. Soit à diviser 481,78 par 26. Le dividende se compose de 48178 centièmes. Si l’on divise le nombre entier 48178 par 26, on obtient pour quotient 1853. Puisque le produit de 1853 unités par 28 donne 48178 unités, le produit de 1853 centièmes par 28 donnera 48178 centièmes, c’est-à-dire le dividende proposé; donc le quotient cherché est 1853 centièmes , ou 18,53.
Règle. Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, on effectue la division comme si le dividende était un nombre entier, en ayant soin, quand on a abaissé le chiffre des unités du dividende, démettre une viryule à la droite du chiffre correspondant du quotient.
On dispose l’opération de la manière ordinaire :
En mettant la virgule comme nous l’avons dit, le quotient a autant de chiffres décimaux que le dividende, ce qui doit être, puisqu’ils expriment l’un et l’autre des unités de même ordre.
11®. Soit encore à diviser 2,645 par 47. La division du nombre entier 2645 par 47 donne pour quotient 56 4- i|. Si l’on multiplie 56 imités plus la fraction ÿi d’unité par 47, on
NOMBRES DÉCIMAUX. , 109
obtient 2645 unités; donc en multipliant 56 millièmes plus la fraction de millième par 47, on obtiendra 2645 millièmes, c’est-à-dire le dividende proposé. Ainsi le quotient demandé égale 56 millièmes , plus une fraction de millième;
en négligeant cette fraction de millième, on commet une erreur plus petite qu’un millième. Donc le quotient est 0,056 à moins d’un millième près.
Le quotient est compris entre 0,056 et 0,057; il est facile de voir, à l’inspection du reste, duquel de ces deux nombres il est le plus rapproché. Le reste étant plus petit que la moitié du diviseur, la fraction complémentaire est plus petite qu’un demi-millième ; donc le quo tient est plus rapproché de 0,056 que de 0,057. On prendra 0,056 par défaut à moins d’un demi-millième près.
Mais dans l’exemple suivant :
33 m le reste étant plus grand que la moitié du diviseur, la fraction
complémentaire ’-f de millième est plus grande qu’un demimillième , et le quotient est plus rapproché de 0,057 que de 0,056. On prendra 0,057 par excès à moins d'un demi-millième près.
Ainsi : lorsque le reste est plus petit que la moitié du diviseur, on conserve le dernier chiffre tel qu’on l’a obtenu; lorsque le reste est plus grand que la moitié du diviseur, on augmente ce dernier chiffre d’une unité. De cette manière, l’erreur sera toujours moindre qu’une demi-unité de l’ordre auquel on s’arrête.
Si l’on veut une approximation plus grande; si l’on demande, par exemple, le quotient à moins d’un millionième près, on met le dividende sous la forme 2,645000 par l’addition d’un nombre convenable de zéros. La division donne pour quotient 0,056276, plus la fraction ff de millionième ; en négli-
géant cette fraction , on commet une erreur moindre qu’un millionième.
Mais, dans la pratique, il est inutile d’écrire les zéros à la droite du dividende : quand on aura abaissé tous les chiffres du dividende proposé, on formera le dividende partiel suivant, en mettant à la droite du reste un zéro, et on continuera de cette manière jusqu’à ce qu’on ait obtenu le quotient avec une approximation suffisante. L’erreur, étant toujours moindre qu’une unité de l’ordre auquel on s’arrête , deviendra aussi petite qu’on voudra. On dispose ainsi l’opération :
113. Cas où le diviseur est décimal. Soitàdiviser4,576 par 2,38. On a vu (n“ 98) que, si l’on multiplie par un même nombre le dividende et le diviseur , le quotient né change pas ; je multiplie par 100 les deux nombres proposés, la question revient à diviser le nombre décimal 457,6 par le nombre entier 238, ce qui rentre dans le cas précédent. Ainsi :
Règle. Lorsque le diviseur est un nombre décimal , on supprime la virgule au diviseur, en ayant soin de la déplacer dans le dividende d’autant de rangs vers la droite qu’il y a de chiffres décimaux au diviseur ; et l’on a à diviser un nombre décimal par un nombre entier.
On demande, par exemple , le quotient de 2 par 0,050 à moins d’un centième près. On divisera 2000 par 59, et l’on trouvera pour le quotient cherché 33,90 par excès à moins d’un demi-centième près.
NOMBRES DÉCIMAUX
tu
COMMENT ON OBTIENT UN PRODUIT ET UN QUOT'ENT A UNE UNITÉ PRÈS D’UN ORDRE DÉCIMAL DONNÉ.
Multiplication abrégée.
414. Ordinairement il n’est pas nécessaire de calculer exactement le produit de deux nombres décimaux ; il suffît de l’obtenir avec une certaine approximation. On demande, par exemple, à moins d’une unité près, le produit des deux nombres 628,45638 et 32,935724. Si l’on effectuait la multiplication d’après la méthode ordinaire, on aurait le produit avec onze décimales ; ces onze décimales, on les négligerait, puisqu'il suffît d’avoir le produit à moins d’une unité près. Voici un procédé qui simplifie l’opération et qui dispense de calculer la partie que l’on doit négliger au produit.
Règle, Pour calculer le produit de deux nombres décimaux à moins d’une unité près , on écrit au-dessous du multiplicande les chiffres du multiplicateur dans un ordre inverse, en plaçant le chiffre des unités du multiplicateur sous le chiffre des dixièmes du multiplicande; puis on multiplie par chaque chiffre du multiplicateur la partie du multiplicande qui, en allant de droite à gauche , commence au chiffre du multiplicande placé au-dessus du chiffre du multiplicateur que l’on considère, et l’on écrit les produits partiels les tins au-dessous des autres, en mettant les premiers chiffres de droite dans une même colonne verticale.
2 0 6 9 8,6 pradoit demandé— 20699.
