LIVRE III

On multiplie d’abord la partie 628,45 du multiplicande par le chiffre des dizaines 3 du multiplicateur, puis la partie 628,4 du multiplicande par le chiffre des unités 2 du multiplicateur, puis la partie 628 du multiplicande par le chiffre des dizièmes 9 du multiplicateur, etc. On voit que les premiers chiffres des produits partiels ainsi obtenus, exprimant tous des dixièmes, doivent être placés dans une même colonne verticale.

Pour diminuer l’erreur, on tient compte, dans chaque opération partielle , des dixièmes fournis par la partie que l’on néglige à la droite du multiplicande, et l’on prend cette retenue par excès ou par défaut, de manière que l’erreur commise sur chaque produit partiel soit plus petite que 5 centièmes ou que un demi-dixième. Ainsi, en commençant la première opération, je dis : trois fois 6 font 18 centièmes, je retiens 2 dixièmes parce que 18 centièmes sont plus près de 20 que de 10 ; trois fois 5 font 1 5, et 2 font 17, je pose 7 et retiens 1 , etc. En commençant la seconde opération , je dis : deux fois 5 font 10 centièmes , je retiens 1 dixième ; deux fois 4 font 8 et 1 font 9, je pose 9, etc. Quand j’arrive au chiffre 7 du multiplicateur, je dis : sept fois 6 font 42 centièmes, je pose 4 dixièmes ; les chiffres suivants 2 et 4 du multiplicateur ne donnent rien au produit.

Puisque l’erreur commise sur chaque produit partiel est plus petite que un demi-dixième , l’erreur totale est plus petite que sept fois un demi-dixième , par conséquent plus petite que 4 dixièmes, dans un sens ou dans l’autre. Si l’on augmente ou si l’on diminue le produit calculé 20698,6 de 4 dixièmes, on voit que le produit exact est plus grand que 20698,2, plus petit que 20699,0 ; on prendra 20699 uuités par excès à moins d’une unité près.

Je remarque que les erreurs commises sur les divers produits partiels sont, les unes par défaut, les autres par excès, de sorte que d’ordinaire ces erreurs, loin de s’ajouter, comme je l’ai supposé dans l’évaluation de l’erreur totale , se com-

• NOMllBF.S DÉCIMAUX.

pensent en partie. Dans l'exemple actuel , la multiplication complète, effectuée par le procédé habituel , donnerait jxmr protluit exact 20698,605....; l'erreur totale commise par la multiplication abrégée ne s’élève pas même à un dixième. Mais, comme on ne peut pas compter sur une compensation aussi parfaite, il vaut mieux évaluer l’erreur totale en faisant la somme des erreurs partielles.

il S. Soit àcalculer, à moins d’un millième près, le produitdesdeuxnombresdécimaux0,7832567328et43, 856721. Si l’on transporte la virgule après les millièmes dans le multiplicande, la question revient àcalculer à moins d’une unité près le produit des nombres783,2567328et 43,856721; on retournera le multiplicateur ,’et l’on placera le chiffre des unités sous le chiffre 2 des dixièmes du nouveau multiplicande, c’est-à-dire sous le chiffre des dix-millièmes du multiplicande proposé. En général, on placera le chiffre des unités du multiplicateur un rang après l’unité décimale qui marque l’approximation.

• « ' V » . i .• ï T r V* ! ‘ ’ÀI I ,0 a

■ 3 1 3 3 0 2 f’MV 1 '

3 4,3 5 1 0 produit demandé = 34,351.

L’erreur commise est plus petite que 6 demi-dix-millièmes, on 3 dix-millièmes; le produit demandé est donc 34,351 à moins d’un millième près.

Division abrégée.

11 0. On peut abréger la division comme la multiplication.

Règle, Pour calculer le quotient de deux nombres entiers, (i moins d’une unité près, on supprime sur la droite du dividende autant de chiffres qu'il y en a au diviseur moins deux ; on divise la partie restante par le diviseur, comme à l’ordinaire; ensuite, au lieu d’abaisser à la droite du reste le chiffre suivant du dividende, on barre le premier chiffre de droite du diviseur, et l’on divise le reste par le diviseur ainsi simplifié ; on barre un second chiffre à la droite du diviseur , et ainsi de suite jusqu'à ce qu’on ait barré tous les chiffres du diviseur moins deux. Je prends pour exemple la division suivante :

, 11822597 J 3935052,5 quotient dénudé = 3985052.

Je supprime cinq chiffres à la droite du dividende. En divisant le dividende ainsi modifié 49753937 par le diviseur, comme à l’ordinaire , j’obtiens le quotient 39 et un reste 443195. Au lieu d’abaisser à la droite du reste le chiffre suivant 4 du dividende pour former un nouveau dividende partiel, je barre le premier chiffre 8 à ladroite du diviseur, et je divise le reste 443195 par 126437, ce qui me donne le quotient 3 et un reste 63882. Barrant un second chiffre 7 à la droite du diviseur, je divise le reste 63882 par 12643, ce qui donne le quotient 5 et un reste 663. Je continue de cette manière jusqu’à ce que j’aie barré le chiffre 6 du diviseur ; alors je trouve le chiffre des unités 2 du quotient. Si , barrant le chiffre 2 du diviseur, j’effectue encore une division , je trouve 5 dixièmes.

On voit qu’en opérant de cette manière on négligp Jes unités des cinq premiers ordres dans les différents produits

NOMBRES DÉCIMAUX

partiels que l’on a à retrancher. Pour diminuer l'erreur dans chaque multiplication, on tient compte de la retenue fournie par les chiffres barrés h la droite du diviseur, et l’on prend cette retenue par défaut ou par excès , de manière que l’erreur commise sur chaque produit partiel soit plus petite que cinq unités du cinquième ordre , ou qu’une demi-unité du sixième ordre. L’erreur commise sur chaque produit partiel altère d’autant le reste de la division ; d’ailleurs l’erreur commise primitivement sur le dividende, quand on en a supprimé les cinq premiers chiffres, est elle-même plus petite qu’une demi-unité du sixième ordre. Comme on a calculé <jnq chiffres du quotient par abréviation, l’erreur totale commise sur le reste est plus petite que six fois une demi-unité du sixième ordre ou que trois unités de cet ordre. Mais l’erreur commise sur le quotient est égale à l’erreur cpmmise sur le reste divisée par le diviseur ; puisque le diviseur est plus grand qu’une unité du septième ordre, il en résulte que l’erreur commise sur le quotient est plus petite que , ou

plus petite que 0,3. Ainsi , le quotient cherché est égal A * 3935052 à moins d’upç unité près.

Comme dans la multiplication, il arrive ordinairement que les erreurs se compensent en grande partie. Dans l’exemple actuel, le quotient exact est 3935052,447.,, ; l’erreur commise par la méthode abrégée est moindre qu’un dixième, llî, Soit encore la division suivante :

On a supprimé six chiffres à la droite du dividende ; puis, afin de pouvoir diviser la partie restante, on a barré immédiatement deux chiffres à la droite du diviseur.

Si l’on voulait calculer à un millième près le quotient d’un nombre décimal par un nombre entier, on transporterait la virgule de trois rangs vers la droite dans le dividende, puis, négligeant la partie décimale , on opérerait comme précédemment.