ERREURS RELATIVES

Exemple. Additionner les nombres

approchés chacun à moins d’un millième. L’erreur commise sur la somme est plus petite que 4 millièmes : la somme est donc comprise entre 24,161 et 24,169. Le chiffre des millièmes étant inexact, on le négligera et l’on prendra 24,16 à moins d’un centième près.

Soustraction.

1 S O. L’erreur de la différence égale la différence ou la somme des erreurs commises sur les deux nombres proposés, suivant qae ces deux nombres sont approchés dans le même sens ou en sens contraire.

Exemple. Du nombre 28,74 approché à moins d’un centième, retrancher le nombre 16,58 approché aussi à moins d’un centième.

L’erreur commise étant plus petite que 2 centièmes, la vraie différence est comprise entre 12, 14 et 12, 18; on prendra 12,2 à moins d’un dixième près.

Erreurs relatives,

119 fl. L’erreur absolue commise sur un nombre est ce qu’il faudrait lui ajouter ou eu retrancher pour avoir le nombre exact.

L’erreur relative est l’erreur absolue divisée par le nombre lui-même.

Supposons, par exemple, que, sur une longueur de 1000 mètres, on commette une erreur de 1 mètre ; en imaginant cette erreur de 1 mètre répartie uniformément sur les J 000 mètres, c'est un millimètre par mètre, ce qu’on exprime en disant que l’erreur relative est , ,- a .

Supposons maintenant que, BUr une longueur de 2000 mètres, on commette une erreur de 2 mètres ; l’erreur, répartie uniformément, ne sera encore que de 1 millimètre par mètre, ce qui constitue une erreur relative de ,-ïït- Sur une longueur double on a commis une erreur absolue double ; mais l’erreur relative n’a pas changé. De même, si, sur une longueur triple, on commet une erreur absolue trois fois plus grande, l’erreur relative reste encore la même.

(l’est par l’erreur relative qu’il faut juger du degré d’exactitude avec lequel on mesure les grandeurs. 11 est clair en effet qu’une erreur de 1 décimètre sur une grande longueur, comme la distance de deux villes , est tout à fait négligeable, tandis qu’elle est très-sensible sur une petite longueur, comme celle d’une table. Si, par exemple, on a commis une erreur de 1 mètre sur une longueur de 100 mètres, et mie erreur de 10 mètres sur une longueur de 10000 mètres, on doit regarder la seconde mesure comme plus exacte que la première, quoique l’erreur absolue soit plus grande. Car, dans le premier cas, l’erreur est de un centimètre par mètre, tandis que, dans le second cas, elle n’est que de un millimètre par mètre.

19 V. 11 existe une relation très-simple entre l’erreur relative d’un nombre approché et le nombre des chiffres exacts qui le composent. Soit le nombre 62,85 approché à moins d’un centième et par conséquent formé de quatre chiffres exacts. Si nous déplaçons la virgule de manière à n’avoir qu’un chiffre à la partie entière, nous aurons le nombre 6,285 approché à un millième. L’erreur absolue est ici cette erreur, répartie sur 6 unités, donnera sur chaque unité une erreur six fois plus petite ou ; telle est l’erreur relative. On dira plus simplement que l’erreur relative est moindre que fjtj* c’est-à-dire une unité décimale du troisième ordre. Ainsi, (’ erreur relative est toujours moindre qu’une unité décimale de l’ordre marqué pur le nombre des rhif~ fres exacts moins un t . . : j i

ERREtJftS RELATIVES. , 419

De même, soit le nombre 0,267435 approché à un millionième et par conséquent formé de six chiffres exacts. En déplaçant la virgule, on a le nombre 2,67435, approché à un cent-millième. L’erreur absolue, qui est ici produit sur

chaque unité une erreur moindre que j-* ïïS et par conséquent moindre que 71 ». L’erreur relative est moindre qu’une unité décimale du cinquième ordre.

193. Réciproquement, si l’on sait que l’erreur relative est moindre qu’une unité décimale d’un certain ordre , on pourra compter sur autant de chiffres exacts dans le nombre approché. Imaginons, comme précédemment, que la virgule ait été déplacée de manière que le nombre n’ait qu’un chiffre à sa partie entière, et supposons que l’erreur relative soit moindre qu’une unité décimale du troisième ordre, c’est-à-dire ~ iv Le nombre est plus petit que 10 unités ; l’erreur commise sur chaque unité étant l’erreur totale ou absolue commise sur le nombre sera moindre que dix fois l’erreur relative, c’est-à-dire moindre que j-ffo, ou

Ainsi on pourra compter sur les deux premiers chiffres décimaux, ce qui, avec le chiffre des unités, fait trois chiffres exacts.

Il arrive souvent que l’on peut compter sur un chiffre de plus. Par exemple, l’erreur relative est et l’on sait que

le chiffre des unités du nombre est plus petit que 7. Puisque le nombre est plus petit que 7, l’erreur absolue est moindre que tzïï* ou que 7^5 ; on aura donc cinq décimales exactes, ce qui, avec le chiffre des unités, fait six chiffres exacts.

Multiplication.

194. Supposons d’abord que l’on multiplie un nombre approché par un nombre exact, par exemple, 45; l’erreur absolue conunise]sur le multiplicande devient 45 fois plus grande; mais comme le produit est lui-même 45 fois plus grand que le multiplicande, l’erreur relative reste la même.

Supposons maintenant que l’on altère le multiplicateur dans le même sens que le multiplicande, il en résultera dans le produit une seconde erreur relative égale à celle du multiplicateur; en ajoutant ces deux erreurs, on voit que l’erreur relative du produit est égale à l’erreur relative du multiplicande, plus celle du multiplicateur.

Ainsi, l’erreur relative d’un produit de facteurs approchés est la somme des erreurs relatives des facteurs.

Si les deux facteurs étaient approchés l’un par défaut, l’autre par excès, les deux causes d’erreurs agiraient en sens contraire, et l’erreur relative du produit serait la différence des erreurs relatives des facteurs.

Le même principe s’étend évidemment au produit d’un nombre quelconque de facteurs ; car, en multipliant par un nouveau facteur, on ajoute l’erreur relative de ce nouveau facteur, s’il est approché dans le même sens.

Exemple I. Multiplier le nombre 25,678 approché à moins d’un millième par le nombre exact A3, 867.

Le multiplicateur est plus petit que 50 : donc l’erreur commise sur le produit est plus petite que 50 fois l’erreur commise sur le multiplicande, et par conséquent plus petite que 50 millièmes, ou que 5 centièmes. On calculera donc le produit à moins d’un dixième près. J’applique la règle de la multiplication abrégée :

1 1 2 6, A 1, produit demandé» 1126, A.

Exemple U. Calculer le produit des deux nombres 3A,268 et 21,67A, approchés chacun à un millième.

L’erreur relative du multiplicande est celle du multiplicateur IX J„ .. Dans le cas le plus défavorable, celui où les erreurs s’ajoutent,