RÉDUIRE UNE FRACTION ORDINAIRE EN FRACTION , .DÉCIMALE

fl *6. On a vu que le calcul des fractions décimales se ramène immédiatement au calcul des nombres entiers, tandis que le calcul des fractions ordinaires est beaucoup plus compliqué. 11 est donc utile, lorsqu’une quantité est exprimée par une fraction ordinaire , de savoir l’exprimer en décimales. C’est ce qu’on appelle réduire une fraction ordinaire en fraction décimale.

Puisqu’une fraction ordinaire est égale au quotient de la division de son numérateur par son dénominateur, on effectuera cette division d’après la règle établie pour la division des nombres décimaux. Soit , par exemple , la fraction l ;

Le quotient étant exactement 0,375 , la fraction ordinaire I est égale à la fraction décimale 0,375. *

129 . En opérant ainsi , on multiplie le numérateur par une certaine puissance de 10 et l’on divise ensuite parle dénominateur. Supposons que le dénominateur ne renferme que les facteurs premiers 2 et 6 qui composent 10. Une puissance de 10, marquée par le plus haut exposant des facteurs 2 et 5 dans le dénominateur , sera évidemment divisible par ce dénominateur. Si donc on multiplie le numérateur par cette puissance de 10 , on aura un produit divisible par le dénominateur, et la division se fera exactement Ainsi, une fraction ordinaire irréductible peut être convertie exactement en décimales, quand le dénominateur ne contient pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5.

Dans l’exemple précédent, le dénominateur 8 étant égal

à 2*, si l’on multiplie le numérateur par 10 s , on aura un produit divisible par 8, ce qui donne le quotient exact 0,375. On peut remarquer que la fraction décimale contient un nombre de chiffres décimaux égal au plus liant exposant des facteurs 2 et 5 dans le dénominateur.

QUAND LE DÉNOMINATEUR D’UNE FRACTION IRRÉDUCTIBLE CONTIENT D’AUTRES FACTEURS PREMIERS OUE 2 ET 5 , LA FRACTION NE PEUT ÊTRE CONVERTIE EXACTEMENT EN DÉCIMALES, ET LE QUOTIENT QUI SE PROLONGE IN- DÉFINIMENT EST PÉRIODIQUE.

Supposons maintenant que le dénominateur de la fraction ordinaire, qui a été préalablement réduite à sa plus simple expression , renferme des facteurs premiers autres que 2 et 5, par exemple le facteur 7. Puisque la fraction est irréductible , le numérateur ne contient pas ce facteur 7; multiplié par une puissance quelconque de 10, ce qui n’introduit que les facteurs 2 et 5 , il ne contiendra pas non plus le facteur 7 ; on n’arrivera donc jamais à un reste nul , et par conséquent il est impossible de convertir la fraction proposée exactement en décimales. Mais dans ce cas on l’exprime avec une approximation aussi grande qu’on veut ; car, si l’on pousse la division assez loin, l’erreur, étant moindre qu’une unité de l’ordre auquel on s’arrête, devient aussi petite qu’on veut.

La fraction ordinaire donne ainsi naissance à une fraction décimale qui se prolonge indéfiniment. Il est aisé de voir quelle est périodique , c’est-à-dire qu’à partir d’un certain rang , elle se compose des mêmes chiffres qui se reproduisent dans le même ordre. En effet, dans les divisions successives, comme tous les restes sont plus petits que le diviseur, après un nombre d’opérations au plus égal au diviseur diminué d’une unité , on retombera nécessairement sur un reste déjà obtenu , et alors ou recommencera dans le même