RÉDUCTION DES FRACTIONS

\Vt

virgule, il reste à retrancher la dernière période ; la diffé^ rence égale le nombre entier 27 moins cette dernière période 0,000027. Or, de 100 fois la fraction j’ai retranché une fois la fraction, la différence égalé 99 fois la fraction ; j’obtiendrai la fraction elle-même en divisant cette' différence par 99 ; donc la fraction décimale 0,272727 égale Infraction ordinaire f}, diminuée de la quantité très-petite

En prenant quatre périodes, on trouverait de même

En général la fraction décimale égale la fraction ordinaire §-J- moins la 99° partie de la dernière période. Or, si l’on prend un nombre de périodes de plus en plus grand, la valeur de la dernière période diminue de plus en plus et devient aussi petite que l’on veut ; donc la fraction décimale proposée diffère de la fraction ordinaire || d’une quantité aussi petite qu’on veut. En un mot, la fraction décimale périodique tend vers une limite égale à fj.

Le raisonnement que je viens de faire s’applique évidemment à une fraction périodique simple quelconque. On transporte la virgule après la première période, en multipliant par une puissance de 10 marquée par le nombre des chiffres de la période; on retranche du produit la fraction ellemême, ce qui donne une différence égale à la fraction multipliée par un nombre formé d’autant de 9 qu’il y a de chiffres à la période. D’autre part, cette différence est exprimée par la période considérée comme un nombre entier, moins la dernière période. Donc la fraction décimale a pour limite une fraction ordinaire ayant pour numérateur Ja période et pour dénominateur un nombre formé d’autant de 9 qu’il y a de chiffres à la période. Ainsi : Une fraction décimale périodique simple est égale à une fraction ordinaire qui a pour numérateur la période et pour dénominateur

un nombre fdrmé d’autant de 9 qu’il y a de chiffres à la pe'riode.

Fraction périodique mixte.