On appelle racine carrée d’un nombre un nombre

qui, élevé au carré, reproduit le nombre proposé. La racine carrée de 64 est 8, puisque le carré de 8 est 64. On désigne la racine carrée par le signe l/ . Ainsi \/ 64 =8.

Étant donné un nombre entier, comme ce nombre ne sera pas ordinairement un carré parfait, on se bornera à chercher la racine du plus grand carré qu’il contient. L’excès du nombre proposé sur le plus grand carré qu’il renferme s’appelle reste.

Si le nombre donné est plus petit que 100, comme on sait par cœur les carrés des neuf premiers nombres , on trouve de suite le résultat. Soit , par exemple , le nombre 45 ; le plus grand carré contenu dans ce nombre est 36, dont la racine est 6, et l’on a un reste 9.

Je considère maintenant un nombre plus grand que 100, par exemple :

Le plus grand carré contenu dans ce nombre étant au moins égal à 100, la racine cherchée est au moins égale à 10 ; elle se compose donc d’un chiffre des unités et d*un certain nombre de dizaines. Le nombre proposé contient le carré de la racine, plus le reste ; or, le carré de la racine, d’après ce qui a été dit, est formé de trois parties : le carré des dizaines, le double produit des dizaines par les unités, le carré des unités. La première partie , le carré des dizaines, exprimant des centaines , doit être contenue dans les 45 centaines du nombre proposé \ je vais démontrer que l’on obtient les dizaines de la racine en extrayant la racine du plus grand carré contenu dans les centaines du nombre.

Le nombre 45 est compris entre les deux carrés consécutifs 36 et 49, carrés de 6 et de 7. Le nombre proposé 4587 contient donc 36 centaines ou le carré de 60 ; il ne contient

EXTRACTION DES RACINES

pas A9 centaines ou le carré de 70. 11 en résulte que la racine cherchée est ou 60, ou un nombre plus grand que 60, mais plus petit (pie 70 ; en un mot, le chiffre des dizaines de la racine est 6.

On connaît les dizaines de la racine ; si du nombre proposé on retranche le carré des dizaines 3600,1e reste 987 ne renferme plus que les deux autres parties du carré : le double produit des dizaines par les unités, ou le produit de 12 dizaines par le chiffre des unités, et le carré des unités. La première partie, exprimant des dizaines, est contenue dans les 98 dizaines ; mais ce produit n’est pas nécessairement le plus grand multiple de 12 contenu dans 98 ; car 98 contient en outre les dizaines de retenue fournies par le carré des unités et par le reste. En divisant 98 par 12, on trouve 8 pour quotient ; le chiffre des unités est donc 8 ou un chiffre plus petit. J’essaie 8; pour cela j’écris 8 à la droite de 12, et je multiplie le nombre 128 ainsi formé par 8; le produit 1024 se compose du produit de 12 dizaines par 8, c’est-àdire du double produit des dizaines par les unités , et en outre du produit de 8 par 8 , c’est-à-dire du carré des unités. Or, la somme de ces deux parties doit être contenue dans 987 ; puisque 1024 est plus grand que 987, on en conclut que le chiffre 8 est trop fort. J’essaie 7 de la même manière, en multipliant 127 par 7 ; le produit 889 étant contenu dans 987, le chiffre 7 est bon ; c’est bien le chiffre des unités de la racine. Ainsi la racine du plus grand carré contenu dans le nombre 4587 est 67, et il y a un reste 98.

159. Soit encore à extraire la racine du plus grand carré contenu dans le ncynbre 458732 :

t 48 CHAPITRE I. — LIVRE IV.

Ce nombre ôtant plus grand que 100, la racine est égale ou supérieure à 10, et par conséquent se compose d’un chiffre des unités et d’un certain nombre de dizaines. Le carré clés dizaines , étant des centaines , se trouve compris dans les 4587 centaines du nombre proposé, et l’on obtiendra les dizaines de la racine en extrayant la racine du plus grand carré contenu dans les 5587 centaines.

11 s’agit donc d’extraire la racine du plus grand carré contenu dans le nombre 4587. Ce nombre étant, plus grand que 100, la racine est égale ou supérieure à 10 , et par conséquent se compose d’un chiffre des unités et d’un certain nombre de dizaines. On obtiendra les dizaines de la racine en extrayant la racine du plus grand carré contenu dans les 45 centaines. En répétant les raisonnements précédents , on trouve que 07 est la racine du plus grand carré contenu dans le nombre 4587, et qu’il y a un reste 08. Ainsi la racine du nombre 458752 se compose de 07 dizaines et d’un chiffre des unités que je vais déterminer.

Si du nombre proposé on retranche le carré des 07 dizaines, il reste 08 centaines qui , ajoutées aux 32 unités, donnent 0832. Ce nombre renferme le double produit des dizaines par les unités; on divisera 083 par le double de 07 ou par 134, ce qui donne pour quotient 7. Le chiffre des unités est ou 7 ou un chiffre plus petit. On essaiera 7, en écrivant 7 à la droite de 134 et multipliant 1347 par 7; le produit 0429 étant plus petit que 0832, le chiffre 7 est bou. Ainsi la racine cherchée est 077, et il y a un reste 403.

De ce qui précède on conclut :

Règle. Pour extraire la racine carrée du plus grand carré contenu dans un nombre entier, on partage ce nombre en tranches de deux chiffres à partir de la droite, la dernière tranche à gauche pouvant d'ailleurs ne renfermer qu'un chiffre. On extrait la racine du plus grand carré contenu dans la première tranche à gauche , ce qui

EXTRACTION DES RACINES

donne le premier chiffre de gauche de la racine cherchée. On retranche ce plus grand carré de la première tranche, et à la droite du reste on abaisse la tranche suivante; on sépare le premier chiffre de droite, et on divise le nombre ainsi formé par le double du, chiffre déjà obtenu à la racine; le quotient est le second chiffre de la racine on un chiffre trop fort. On essaie ce chiffre en l’écrivant à la droite du double du premier chiffre, multipliant le nombre ainsi formé par le chiffre que l'on essaie, et retranchant ce produit du nombre obtenu par rabaissement de la seconde tranche. Si la soustraction est possible, le chiffre essayé est bon; si elle n'est pas possible, ce chiffre est trop fort, et alors on essaie le chiffre inférieur d’une unité. Quand on a trouvé le second chiffre de la racine, à la droite du reste on abaisse la tranche suivante, on sépare le premier chiffre de droite, et l’on divise le nombre ainsi formé par le double de la partie déjà obtenue à la racine. On continue de cette manière jusqu’à ce qu’on ait abaissé toutes les tranches.

Si l’on effectue les soustractions en môme temps que les multiplications, l’opération se dispose de cette manière :

0 8.7 l 2 7 IUT

J’applique la règle à l’exemple suivant :

On voit qu’il y a autant de chiffres à la racine qu’il y a de tranches dans le nombre proposé.

Preuve. Si l’on élève au carré la racine trouvée et si l’on ajoute le reste, on doit trouver le nombre donné.