INDICATION SOMMAIRE DE LA MARCHE A SUIVRE POUR

l’extraction de la racine cubique.

fl 5$. On appelle racine cubique d’un nombre un nombre qui, élevé aucube, reproduit le nombre proposé. La racine cubique de 343 est 7, puisque le cube de 7 est 343. On désigne

la racine cubique par le signe \J ; ainsi 43=7.

Etant donné un nombre entier, nous nous bornerons à chercher la racine du plus grand cube contenu dans le nombre proposé.

Jeconsidère d’abord un nombre plus petit que 1000; à l’aide du tableau des cubes des neuf premiers nombres (n“ 152), on voit de suite le résultat. Soit le nombre 642 ; le plus grand cube contenu dans ce nombre est 512, dont la racine est 8, et l’on a un reste 130.

Je considère maintenant un nombre plus grand que 1000, par exemple, 98654

3 4 6.5 4 Jî 3 3.3 6 1 3.1 8

Le plus grand cube contenu dans ce nombre étant supérieur ou égal à 1000, la racine cherchée est supérieure ou égale à 10; elle se compose donc d’nn chiffre des unités et d’un certain nombre de dizaines. Le nombre proposé renferme le cube de la racine, plus le reste ; or, le cube de la racine, d’après ce qui a été dit, comprend quatre parties : le cube des dizaines, etc. La première partie, exprimant des mille , ne peut se trouver que dans les 98 mille du nombre proposé, et l'on aura les dizaines dç la racine en extrayant la racine du plus grand cube contenu dans les mille du nombre.

Le nombre 98 est compris entre les deux cubes consécu-

EXTRACTION DES RACINES

tifs 64 etl25, cubes de A et de 5. Le nombre proposé 98654 contient donc 64 mille ou le cube de 40 ; il ne contient pas 125 mille ou le cube de 50 ; il eu résidte que la racine cherchée est 40 ou un nombre plus grand que AO, mais plus petit que 50 ; eu un mot, le chiffre des dizaines de la racine est A.

On connaît les dizaines de la racine. Si du nombre proposé on retranche le cube des dizaines 64000, le reste 34654 ne renferme plus que trois parties : trois fois le carré des dizaines multiplié par les unités, trois fois les dizaines multipliées par le carré des unités, le cube des unités.

La première partie, exprimant des centaines, est contenue dans les 346 centaines; trois fois le carré des dizaines étant 48, le produit de 48 par le chiffre des unités est contenu dans 346 ; mais ce produit n’est pas nécessairement le plus grand multiple de 48 contenu dans 346 ; car 346 contient en outre les centaines de retenue provenant des autres parties. En divisant 346 par 48, on trouve 7 pour quotient; le chiffre des unités est donc ou 7 ou un chiffre plus petit.

J’essaie 7 ; pour cela je forme les trois autres parties du cubade47 : eu multipliant 48 par 7, on obtient la première partie 33600 ; en multipliant le triple des dizaines ou 12 par le carré des unités 49, on obtient la seconde partie 5880 ; enfin la troisième partie, le cube des unités, est 343. La somme 39823 de ces trois parties étant plus grande que 34654, le chiffre 7 est trop fort.

J’essaie 6 de la même manière. La somme des trois parties 33336 étant moindre que 34654, le chiffre 6 est bon. Ainsi la racine du plus grand cube contenu dans le nombre 98654 est 46, et on a un reste 1318.

Pour essayer le chiffre 7, au lieu de calculer les trois parties séparément, il est plus simple de procéder de la manière suivante : à la droite du triple des dizaines 12, j’écris le chiffre 7, je multiplie le nombre 127 ainsi formé par 7, j’ajoute au produit 889 le triple cari é des dizaines, c’est-à-dire

4800, ce qui donne le nombre 5689 que je multiplie par 7, j’obtiens ainsi la somme 39823 des trois autres parties du cube. En effet de cette manière le nombre 7 a été multiplié , deux fois successivement par 7, ce qui donne le cube des unités; le triple des dizaines 12 a été aussi multiplié deux fois successivement par 7, ce qui donne trois fois le produit des dizaines par le carré des unités ; enfin le triple carré des dizaines 48 a été multiplié par le chiffre des unités 7. Après avoir reconnu que le chiffre 7 est trop fort, on essaiera de la même manière le chiffre 6.

150 . Soit encore à extraire la racine du plus grand cubé contenu dans le nombre 98654965.

fi ___ 3

On raisonnera comme précédemment : ce nombre étant plus grand que 1000, la racine est égale ou supérieure à

10 et par conséquent se compose d’un chiffre des unités et d’un certain nombre de dizaines. On obtiendra les 46 dizaines de la racine en extrayant la racine cubique du plus grand cube contenu dans les 98654 mille.

Si du nombre proposé on retranche le cube des dizaines,

11 reste 1318 mille qui, ajoutés aux 965 unités, donnent 1318965. Ce nombre renferme les trois autres parties du cube ; on divisera donc 13189 par trois fois le carré de 46 ou par 6348, ce qui donne pour quotient 2. On essaira le chiffre 2 par le procédé indiqué précédemment. Le chiffre 2 est bon. Ainsi la racine cherchée est 462.

De ce qui précède on conclut :

Règle. Pour extraire la racine cubique du plus grand cube contenu dans un nombre entier donne, on partage ce

EXTRACTION DES RACINES

nombre en tranches de trois chiffres à partir de la droite, la dernière tranche à gauche pouvant d’ailleurs ne renfermer que deux chiffres ou un seul. On extrait la racine de la première tranche de gauche, ce qui donne le premier chiffre de gauche de la racine cherchée. On retranche le cube de ce chiffre de la première tranche, et à la droite du reste on abaisse la tranche suivante. On sépare les deux premiers chiffres et on divise le nombre ainsi formé par trôis fois le carré, du chiffre déjà obtenu à la racine. Le quotient est le second chiffre de Id racine ou un chiffre trop fort. On essaie ce chiffre en formant les trois autres parties du cube et retranchant la somme du nombre obtenu par l’abaissement de la seconde tranche. Si la soustraction n’est pas possible, le chiffre essayé est trop fort, et l’on essaie le chiffre inférieur d’une unité; si elle est possible, à la droite du reste on abaisse la tranche suivante. On continue de cette manière jusqu’à ce qu’on soit arrivé à la dernière tranche.

Preuve. En élevant au cube la racine trouvée et ajoutant le reste, on doit reproduire le nombre proposé.