LIVRE I

SOUSTRACTION

PROPOSITION II

Trouver la différence de deux nombres entiers 947 , 364 .

Pour obtenir la différence des nombres proposés , U suffit de prendre séparément la différence de leurs unités simples, celle de leurs dizaines, celle de leurs centaines, etc. (déf. 2, rem. 2° et 3“), ce qui nous conduit à écrire le second nombre sous le premier de manière que les chiffres qui expriment des unités de même ordre soient situés sur une même ligne verticale. .

Cela étant , on dira 4 unités simples ôtées de 7 unités simples, il reste 3 unités simples, qu’on écrit sous le chiffre 4 du plus petit nombre; ôter 6 dizaines de 4 dizaines, cela est impossible ; alors on augmente le chiffre 4 du nombre supérieur de 10 dizaines ce qui donne 14 dizaines, et l’on dit : G dizaines ôtées de 14 dizaines, il reste 8 dizaines, qu’on écrit sous le chiffre (l du plus petit nombre : pour ne pas altérer la différence, on augmente le plus petit nombre de 10 dizaines ou d’une centaine , et on dit 4 centaines ôtées de 9 centaines, il reste 5 centaines, qu’on écrit sous le chiffre 3 du plus petit nombre. Le résultat est 583.

En général, pour trouver la différence de deux nombres entiers, on écrit le plus petit nombre sous le plus grand, de manière que les chiffres qui expriment des unités de même ordre soient situés sur une même ligne verticale', on souligne le plus petit nombre ;■ puis , à jmrlir de la droite, on retranche successivement chaque chiffre du plus petit nombre

du chiffre supérieur correspondant, et l'on plaee le reste audessous; lorsqu'un chiffre du plus petit nombre excède le chiffre supérieur correspondant , on rend la soustraction possible en augmentant celui-ci de 10 unités de son ordre, et en ajoutant 1 unité au chiffre inférieur suivant.

Remarque 1. Il est plus commode d’opérer de droite à gauche que de gauche à droite. Car , en opérant de droite à gauche, chaque soustraction partielle fournit un chiffre du résultat; tandis qu’en opérant de gauche à droite, lorsqu’un chiffre inférieur excède le chiffre supérieur correspondant, il faut , après avoir augmenté celui-ci de 10 unités de son ordre pour rendre la soustraction possible , diminuer d’une unité le chiffre précédent du résultat et, par suite, changer un ou plusieurs chiffres déjà écrits.

Remarque 2. Pour faire la preuve de la soustraction , il sufQt de s’assurer si le reste 583, ajouté au plus petit nombre 364. , reproduit le plus grand nombre 947 , ou si , en retranchant le reste du plus grand nombre , on obtient le plus petit (déf. 2).

MULTIPLICATION

PROPOSITION III

Un produit 3x4x5x7x8xGx9</e tant de facteurs qu’on voudra ne change pas de valeur lorsqu’on intervertit F ordre des facteurs.

1“ Démontrons d’abord que ce produit ne change pas de valeur, lorsqu’on intervertit l’ordre des deux premiers facteurs , c’est-à-dire qu’on a

Cela revient à prouver que

LIVKK 1.

car ceg deux produits étant égaux, si on les multiplie par les mémos facteurs 5, 7, 8,6, 9, on aura des résultats égaux (ax. 2). Or, multiplier 3 par 4, c’est répéter quatre fois chacune des unités qui composent le nombre 3 (déf. 3, rem. 2), ce qui donne 1 X V répété trois fois ou 4 x 3 ; donc 3x4 = 4x3, et, par suite,

2“ Proposons-nous de démontrer que le produit 3x4x5 x7x8x6x9ne change pas de valeur lorsqu’on intervertit l’ordre des deux derniers facteurs, c’est-à-dire qu’on a

Désignant, pour abréger, par la lettre P, le produit 3x4 X 5x7x8 des facteurs qui précèdent ics deux derniers, ii suffit de prouver que

Px6x9 = Px9x6.

Or, pour multiplier par 9 le produit P x 6 , il suffit de multiplier par 9 chacun des 6 nombres , égaux à P, qui composent ce produit (déf. 3, rem. 2, 1°) ; ce qui donne Px 9 répété 6 fois ou P x 9 x 6 ; donc

Px6x9 = Px9x6.

3® Le produit 3x4x5x7x8x6x9 ne change pas de valeur lorsqu’on intervertit l’oixlrc de deux facteurs consécutifs quelconques, 7 et 8 par exemple; de sorte qu’on a

En effet, 7 et 8 étant les deux derniers facteurs du produit3x4x5x7x8, on a (2°)

multipliant ces deux produits par 6 et les résultats par 9 , on a (ax. 2)

^ 6 ARITHMÉTIQDE.

4° Cela étant, le produit 3x4x5x7x8x6x9ne change pas de valeur lorsqu’on intervertit arbitrairement l’ordre de ses facteurs. Car si l’on veut, par exemple, donner le premier rang au facteur 7 , sans altérer la valeur du produit, il suffira de le mettre successivement au troisième rang, à la place de 5, au second rang, à la place de 4, et au premier rang, à la place de 3 : on donnera de même le second rang à celui qu’on voudra des six autres facteurs, et ainsi de suite jusqu’à ce que tous les facteurs occupent définitivement les rangs qu’on leur aura assignés d’une manière arbitraire.

PROPOSITION IV

Pour multiplier un nombre 7 par unproduit 2x3x4, . il suffît de multiplier ce nombre par le premier facteur 2, le produit obtenu par le second facteur 3 , et ainsi de suite jusqu'à ce quon ait employé, comme multiplia catcur, le dernier facteur du produit.

Il s’agit de prouver que

En vertu du principe précédent (3) , le produit 7x ( 2x 3 x4) = (2x3x4)x7 ou2x3x4x7;onaaussi2x3x4x7 =7x2x3x4; donc

7x (2x3x4) = 7x2x3 x4 (ax. 1).

Remarque. Au lieu de déduire ce principe du précédent , on peut le regarder comme une conséquence immédiate de la définition 3. Car, répéter trois fois le double d’une quantité , c’est prendre cette quantité trois fois deux fois ou six fois ; et répéter quatre fois le produit d’une quantité par G , c’est prendre quatre fois six fois ou vingt-quatre fois cette quantité.

ConoLt,URE 1. Lorsqu'on multiplie un facteur d'un produit 2x3x4 par un nombre 7, le produit est multiplié par ce nombre.

Il s’agit de prouver qu’on a , par exemple ,

En effet, 2x(3x7)x4 = 2x3x7x4 (pr. 4), et2x3x7 x4=2x3x4x7 (pr. 3); donc 2x (3x7) x4=2x3x4x7 (ax. 1).

Corollaire 2. Un produit 1y.^y.k de plusieurs nombres entiers est un multiple de l'un quelconque de ses facteurs. Car on a, par exemple, 2x3x4 = 3x2x4=3x(2x4); donc 2x3x4 est un multiple de 3 (déf. 7).

Corollaire 3. Lorsqu,' un nombre 120 contient tous les facteurs d'un autre nombre 12 (déf. 6), le premier est un multiple du second. Car, en supposant 120=4x2x3x5 et 12=3x4, on aaussi 120=4x3x2x5=12x (2x5).

PROPOSITION V

Pour multiplier un nombre 4367 par l'unilé suivie d’un ou de plusieurs zéros, il suffit d’écrire à la droite' de ce nombre autant de zéros qu'il y en a à la droite de l'unité.

Ainsi, on aura 4367 x 100=436700.

En effet, le chiffre 7, qui exprimait des unités simples , exprime actuellement des centaines ou des unités cent fois plus grandes; le chiffre 6, qui exprimait des dizaines, exprime actuellement des mille ou des unités cent fois plus grandes, et ainsi de suite; donc chacune des parties de 4367 a été rendue cent fois plus grande ; donc ce nombre lui-même est devenu cent fois plus grand (déf. 3, rem. 2, 1°).

Uejiarque. La même égalité montre que pour diviser 436700 par 100, il suffit de supprimer deux zéros à la droite du dividende, ce qui donne le quotient 4367.

■I 8 AIUTHMénQnE.

Corollaire. Pour obtenir te produit de plusieurs nombres terminés par des zéros, il suffit d’effectuer le produit de ces nombres, abstraction faite des zéros gui les terminent, et d'écrire à la droite du produit autant de zéros qu’on en a supprimé. Ainsi on aura 3000 x 800 = 24.00000. Car le multiplicateur 800 peut Être considéré comme le produit des facteurs 8 e.t 100 , et., pour multiplier le nombre 3000 par ce produit , il sufGt de le multiplier par 8, ce qui donne 24000 (pr. k, cor. 1], et de multiplier 24000 par 100 , ce qui donne 2400000.

PROPOSITION VI

Multiplier un nombre 537 ,, ée plusieurs chiffres, par un nombre 8 d’un seul chiffre.

Le nombre 537 étant une somme composée de 5 centaines, de 3 dizaines et de 7 unités, pour le multiplier par 8 , il suffit de multiplier par 8 chacune de ses parties (déf. 3, rem. 2, 1°); de sorte qu’on dira 8 fois7 unités simples donne 56 unités simples ou 6 unités simples, qu’on écrit sous le chiffre 7 du multiplicande, et 5 dizaines qu’on reporte au produit suivant; 8 fois 3 dizaines donne 24 dizaines, qui, augmentées de 5 dizaines , font 29 dizaines ou 9 dizaines , qu’on écrit sous le chiffre 3 du multiplicande, et 2 centaines qu’on reporte au produit suivant ; 8 fois 5 centaines donne 40 centaines , qui , augmentées de 2 centaines, font 42 centaines ou 2 centaines , qu’on écrit sous le chiffre 5 des centaines du multiplicande , et 4 mille qu’on place à la gauche du chiffre 2 des centaines. Le produit demandé est

En général, pour multiplier un nombre de plusieurs