LIVRE I

PROPOSITION IX

La somme 7 x4+7x8 + 7xG de plusieurs multiples dune (pianlité 7 est un multiple de cette quantité.

En effet7x4+7x8+7x6=7x(4+8+6) (déf.3,rem.2, 2°); or, 4, 8, 6 étant des nombres entiers, leur somme 4+8 + 6 est aussi un nombre entier, donc 7 X (4+8 + 6) est multiple de 7.

Remarqüe. On voit, de même, que la différence 7x9— 7x4 de deux multiples d'une quantité '1 est tin multiple de cette quantité. Car 7x9— 7x4=7x (9— 4) , et 9—4 est un nombre entier.

DIVISION

PROPOSITION X

Lorsqu'un nombre 12 est un multiple d’un autre nombre 4, le premier est divisible par le second; et réciproquement, lorsqu’un nombre 12 est divisible par un autre nombre k, le premier est un multiple du second. ‘ , * ‘

1“ 12 étant le produit do 4 par un nombre entier (déf. 7), supposons qu’on ait 12 = 4 x 3. On aura aussi 12 = 3 x 4 (pr. 3) ; donc le nombre entier 3 est le quotient de la division de 12par4 (déf. 8); donc 12est divisible par4(déf. 9).

2° Supposons que le nombre entier 3 soit le quotient de la division de 12 par 4. Nous aurons 12=3 x 4 et, par suite, 12=4x3; donc 12 est un multiple de 4.

Corollaire 1. Lhi produit de plusieurs nombres entiers est divisible par l'un quelconque de ses facteurs (pr. 4, cor.2).

22 x^rmttÈTiQTit.

Corollaire 2. Lorsqu'un nombre contient tous les facteurs d!un autre nombre, le premier est divisible par le second (pr. 4,cor.3).

PROPOSltlON XI.

Tout diviseur 6 commun à plusieurs nombres, 18, 24, 30, divise leur somme 72.

Chacun des nombres 18, 2^, 30, étant divisible par 6, est un multiple de 6 (pr. 10); donc leur somme 72 est aussi un multiple de 6 (pr. 9) ; donc 72 est divisible par 6 (pr. 10).

Remarque. On prouverait , de même , que tout diviseur 6 commun à deux nombres, 48 et 18, divise leur différet-ce 30 (pr. 9, rem.).

Corollaire. Tout diviseur 6 (Lun nombre 18 divise un multiple quelconque 18x4 de ce nombre. Car 18x4 est une somme de 4 nombres égaux à 18.

PROPOSITION XII

Pour diviser une somme 30+18+12 par un nombre entier 6, il suffit de diviser chaque partie de la somme par ce nombre.

H s’agit de prouver que

c’est-à-dire que ^+^+^ est le quotient de la division de 30+18 + 12 par 6 ou, autrement, que si l’on multiplie ^+X+X par Jo diviseur 6, on obtiendra le dividende

UVRB I.

30+18+12. Or, pour multiplier une somme par un nombre entier G , il suffit de multiplier par 6 chacune des parties de la somme ; donc