LITRE I

PROPOSITION XV

Lorsqu'on divise un facteur 6 d’wn produit 5x6x4 par un nombre 3, le produit est divisé par ce nombre.

Il s’agit de prouver que 5x|x4 = ^^^, c’est-à-dire que 5x|x4 est le quotient de la division de 5x6x4 par le nombre 3, ou, autrement, que si l’on multiplie 5 x | x 4 par 3, on obtiendra le dividende 5x6x4. Or, pour multiplier un produit par un nombre 3, il suffit de multiplier par 3 un des facteurs du produit (pr.4,cor. 1), donc on a (5xfx4) X3 = 5x(^x3)x4 = 5x6x4.

Corollaire 1. Pour diviser un produit 5x6x4 par un de ses facteurs, il suffit de supprimer ce facteur dans le produit. Car on a par exemple = 5 xfx4=5xlx4— 5x4.

Corollaire 2. Lorsqu'un produit 4 X 5 X 3 X 7 contient tous les facteurs d'un autre produit 3x4, le quotient de la division du premier produit par le second s'obtient en supprimant dans le premier produit tous les facteurs du second.

Qir pour diviser un nombre 4 x 5 x 3 x 7 par le produit 3x4, il suffit de diviser ce nombre par 3 et le quotient obtenu par 4 (pr. 14), ce qui donne 5x7 pour le quotient demandé (cor. 1).

PROPOSITION XVI

Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise le dividende 96 par un nombre h, sans changer le diviseur 8 , le quotient 1 2 est multiplié ou divisé par ce nombre.

1° On a 96=12x8 (déf. 8, rem. 1). Multipliant le facteur 12 par 4, le produit 96 sera multiplié par 4 (pr. 4, cor. 1), et on aura 96x4 = (12x4) x 8 ; ce qui montre qu’en divisant le nouveau dividende 96x4 par le môme diviseur 8, on obtiendra le nouveau quotient 12x4 (déf. 8, rem. 1).

2” On prouverait, de môme, que, si l’on divise le dividende

28 i AaiTBMÉTlQDE.

96 par 4, sans changer le diviseur 8, le quotient 12 sera divisé par 4 (pr. 15).

PROPOSITION .XVII

Lorsqu'on multiplie ou qu’on divise le diviseur 8 par U7i nombre 4 , sans changer le dividende 96 , le quotient 12 est divisé ou multiplié par ce nombre.

1° On a 96=12x8. Multipliant le facteur 8 par 4 et divisant le facteur 12 par 4, le produit 96 sera multiplié et divisé par 4 (pr. 4, cor. 1 et pr.l5); donc coproduit ne changera pas de valeur, et on aura 96 = ^X (8x4), ce qui montre qu’en divisant le même dividende 96 par le nouveau diviseur 8 X 4 , on obtiendra le nouveau quotient

2® On prouverait, de même, que, si l’on divise le diviseur 8 par 4 , sans changer le dividende 96 , le quotient 12 sera multiplié par 4.

PROPOSITION XVIII

Lorsqu'on multiplie ou qu’on divise le dividende 96 et le diviseur 8 par xin même nombre 4 , le quotient ne change pas.

1“ On a 96=12x8. Multipliant le facteur 8 par 4, le produit 96 sera multiplié par 4, et on aura 96x4= I2x (8x4), ce qui montre qu’en divisant le nouveau dividende 96x4 par le nouveau diviseur 8x4, on obtiendra le môme quotient 12.

2“ On prouverait, de môme , que , si l’on divise par 4 le dividende 96 et le diviseur 8 , et qu’on divise ^ par j, on obtiendra le même quotient 12.

CoKOLLAiRE 1. Loi’squ’on aperçoit un ou plusieurs facteurs communs au dividende et au diviseur, on peut abréger l’opération en faisant abstraction de ces facteurs. Ainsi , au licp de diviser 5 x 360 x 47 par 5x12x47, on divisera 360